Gleichung in Linearfaktoren zerlegen

Question

Bräuchte unbedingt Eure Hilfe!

Zerlege die linke Seite der Gleichung in ein Produkt aus Linearfaktoren und lies daraus die Lösungen der Gleichung ab! Verwende dazu keine Lösungsformel!

a) x²+5x+6=0

b) 2x²-12x+16=0

c) x²-7x+10=0

d) x²-1/4= 0

e) 1/2x²-2x+2=0

Bitte mit Lösungsweg!

Answer 1

x²+5x+6=0   Da musst du etwas raten. Du brauchst zwei Zahlen,

deren Produkt die 6 und deren Summe die 5 ist.

Also 2 und 3 und du hast ( rechne mal nach)

(x+2)(x+3) = x²+5x+6Also wird eine Gleichung zu

(x+2)(x+3) =0  und du

hast  x = -2     oder   x= -3 .

Viel Spaß beim Raten. Denke auch an negative Zahlen.

Bei b und e zuerst durch 2 bzw. durch 1/2 dividieren.

Comments

Danke:) Werde gleich anfangen

Answer 2

Hallo beater-girl,

Du hast Terme der Form  ax² + bx + c

Durch Ausklammern von a erhältst du jeweils einen Term der Form

 a • (x² + b/a) • x + c/a ) 

Mit  p = b/a  und q = c/a   hast du dann  a • ( x² + p • x + p ) 

Jetzt kannst du mit der pq-Formel die Gleichung  x² + p • x + p = 0    lösen.

Wenn sich zwei Lösungen u und v ergeben:

                  →       ax² + bx + c  =  a • (x - u) • (x - v)

Wenn sich nur eine Lösung u  ergibt: 

                   →       ax² + bx + c  =  a • (x - u)²  

Wenn sich  keine Lösung u  ergibt:    keine Linearfaktorzerlegung

Gruß Wolfgang

Answer 3

Denk dir mal du hättest eine Gleichung in linearfaktoren gegeben und multiplizier diese aus.

y = (x + m) * (x + n)

y = x² + n·x + m·x + m·n

y = x² + (m + n)·x + m·n

Vor dem x hast du also die Summe zweier zahlen und am Ende ein Produkt zweier Zahlen. Das Rückgängigmachen der ausmultiplizierten Form funktioniert also über das Lösen eines Gleichungssystems. Am einfachsten durch ansehen im Zweifel aber auch durch rechnen. Das ganze nennt man dann faktorisieren mit dem Satz von Vieta.

Schauen wir uns mal deine Terme an

x² + 5·x + 6 = (x + 3)·(x + 2)

2·x² - 12·x + 16 = 2·(x² - 6·x + 8) = 2·(x- 4)·(x - 2)

x² - 7·x + 10 = (x - 5)·(x - 2)

x² - 1/4 = (x + 1/2)·(x - 1/2) auch 3. binomische Formel

1/2·x² - 2·x + 2 = 1/2·(x² - 4·x + 4) = 1/2·(x - 2)² auch 2. binomische Formel