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Betrachten Sie die Mengen Kj : { k | k = 4m + j, m ∈  ℤ} mit j ∈ ℕ und R= { K0, K1, K2, K3 }.

Die Verknupfungen + :  R × R → R und · : R × R → R werden definiert durch Ki + Kj = { k | k = 4m + i + j, m ∈ ℤ } und Ki · Kj B { k | k = 4m + ij, m ∈ ℤ } .

Wie  kann man bitte die Axiome nachweisen?

von

Wie lauten denn die Axiome?

Ich muss zeigen, dass (R,+) eine abelsche Gruppe, (R,·) eine Halbgruppe ist, und dass die Distributivgesetze gelten? Und wenn er kommutativ wegen der Multiplikation ist?

Na, dann hast du's doch schon.

Die Kommutativität "erbt" der Ring \( R \) von den Verknüpfungen im Ring \( \mathbb{Z} \), sodass dies zu zeigen einem sehr einfach vorkommt.

1 Antwort

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also erst mal  (R,+) eine abelsche Gruppe

Da nimmst du einfach die Def. von +  und zeigstdass immer  K i = K i mod 4 ist.   Und dann etwa dass es assoziativ ist,

etwa so:

Seien  Ki und Kj  und Kk aus R dann gilt

( K+  Kj  ) +  Kk      wegen Def. von +

=  K i+j (mod 4)  +    Kk     

=   K (  i+j (mod 4)  +  k  )  

=     K  (i+j) + k ) (mod 4)    und wegen Ass. in Z

=   K  (i+( j + k ) )(mod 4)                 

= ....    alles wieder zurück bis

=   K+(  Kj   +  Kk    )    

und mit den anderen entsprechend.
von 258 k 🚀

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