Grenzwert einer gebrochen rationaler Funktion.

Question

Wie kann ich folgenden Grenzwert berechnen?

(x^{2 n} - n)/(x^{2 n} + n)

Mit n gegen Unendlich.

EDIT: Nachtrag:  x ist Element der reellen Zahlen.

Comments

Ist irgendetwas über x bekannt?

Wenn nicht: Mache verschieden Fälle:

1. Fall x = 0

lim(n-> unendlich) -n/n

= lim(n-> unendlich) -1/1 = -1 

usw.

mit weiteren Fällen.

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Hallo Lu,

lim(n-> unendlich) n/n
= lim(n-> unendlich) 1/1 = 1 

Du hast das minus vergessen

lim(n-> unendlich) -n/n

= lim(n-> unendlich) -1/1 = -1

mfg Georg

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Verzeihung, x ist Element der Reellen Zahlen.

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Könnt ihr mir bitte genau erklären wie ihr auf die Ergebnisse gekommen seit? Nicht intuitiv sondern mit Rechenweg.

MfG

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Danke Georg. Minus ist korrigiert.

Und wenn x €R ist, musst du einfach noch weitere Fälle betrachten.

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Lu, du sagst das so als ob das völlig trivial sei, für mich ist dies nicht der Fall. Könntest du bitte erklären wie du auf die verschiedenen Grenzwerte gekommen bist?MfG

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Beachte: reelle Zahlen hat zwei l. 

1. Fall x = 0

lim(n-> unendlich) (0²ⁿ-n)/(0²ⁿ + n) 

= lim(n-> unendlich) (0-n)/(0+n)

lim(n-> unendlich) -n/n      | kürzen mit n

= lim(n-> unendlich) -1/1 = -1  

usw.

mit weiteren Fällen.

2. Fall x≠0

lim(n-> unendlich) (x²ⁿ-n)/(x²ⁿ + n)       | kürzen mit x²ⁿ

= lim(n-> unendlich) (x²ⁿ/x²ⁿ -n/x²ⁿ)/(x²ⁿ/x²ⁿ + n/x²ⁿ)

= lim(n-> unendlich) (1 -n/x²ⁿ)/(1 + n/x²ⁿ)   

Nun unterscheidest du weiter die Unterfälle 2a) |x| > 1, 2b) |x| = 1 und 2c) 0 < |x| < 1 .

Answer 1

Verwende den L'Hospital.

Comments

Wurde noch nicht behandelt.

Answer 2

Der Grenzwert eines Terms ist nur bestimmbar, wenn geklärt ist, welche Variable des Terms gegen welchen Wert gehen soll (Unendlich eingeschlossen). Der Grenzwert für x gegen unendlich ist für jedes endlich n hier 1, weil Zähler und Nenner Polynome des gleichen Grades sind.

Comments

Die Laufvariable ist n gegen Unendlich.Verzeihung, x ist Element der Reellen Zahlen.