Extremalwertaufgabe: Einer Ellipse mit Halbachsen a und b ist ein Rechteck so einzubeschreiben, dass bei

Question

Einer Ellipse mit Halbachsen a und b ist ein Rechteck so einzubeschreiben, dass bei Drehung a.)

um die Hauptachse und b.) um die Nebenachse ein Zylinder von maximalem Volumen entsteht

Ges: Jeweils das Volumen der Drehzylinder

könnt ihr mir auch mit ner Skizze weiterhelfen

LG

Answer 1

Nebenbedingung ist die Elllipse

x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1
y = b/a·√(a^2 - x^2)

Hauptbedingung Volumen maximieren beim rotieren um die Hauptachse a

V = pi * r^2 * h mit h = 2x und r = y

V = 2·pi·b^2·x·(a^2 - x^2)/a^2
V' = 2·pi·b^2·(a^2 - 3·x^2)/a^2 = 0

x = √3·a/3

V = 4/9·√3·pi·a·b^2

Ich bitte alle Rechnungen mit Zwischenschritten genau zu Kontrollieren.

Man kann für das Drehen um die Nebenachse b einfach a und b vertauschen. Dann wird ja um b gedreht.

Comments

Hier wäre eine Skizze für a = 5 und b = 3

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benötigen wir nicht diese Formel : V= r^2 *pi*h

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@Anonym: Scheint mir vernünftiger. Setz mal dort alles ein. Die Ableitung dürfte einfacher werden als oben. Solltest du wider Erwarten auf Probleme stossen, kannst du dich gern noch mal melden.

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könntest du mir den Vorgang zeigen ?

Die Lösung ist 4 *a*b^2*phi* wurzel3 /9

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könntest du mir den Vorgang zeigen ?

Die Lösung ist =4*a*b^2*phi mal wurzel3/ 9

von wo kommt überhaupt die -4 her in der y Gleichung ?!?

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Ich habe oben mal die Rechnung verbessert. Hatte von der anderen Aufgabe noch die Oberflächenformel im Kopf.

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das Ergebnis ist bei mir aber am zettel 4*a*b^2* phi* mal wurzel3 / 9

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Hier die Auflösung der Nebenbedingung nach y:

x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
y^2/b^2 = 1 - x^2/a^2
y^2 = b^2·(a^2/a^2 - x^2/a^2)
y^2 = b^2/a^2·(a^2 - x^2)
y = b/a·√(a^2 - x^2)

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Wenn du eine andere Musterlösung hast ist es deine Aufgabe meine Rechnung auf Fehler zu überprüfen. Das mache ich meist nicht.

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Ach ich hab den Fehler. Ich habe a und b als Achsen gerechnet. In der Aufgabe steht halbachsen.

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aber muss ic hjetzt die Nebenbedingung in die Volumsgleichung einsetzen ??

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Ja. Die Nebenbedingung ist in die Hauptbedingung einzusetzen.

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ich hab mich die ganze zeit gewundert warum du eine 4 stehn hattest.. aber jz ist die Hauptbedingung anders

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y^2=b^2/a^2 * (a^2- x^2)

y=b/a* wurzel(a^2 -x^^2)  Wieso´ist die wurzel nicht über den ganzen Term?!?!?

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in meiner Volumsgleichung habe ich kein y wo muss ich das einsetzen???

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Weil man aus b^2/a^2 schon gleich die Wurzel ziehen kann.

Du hast in der Volumengleichung ein r und es gilt r = y und dann kann ich für r das y einsetzen.

Das steht oben hinter meiner Volumengleichung dahinter.

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also in diese muss ich es einsetzen

V = phi * r^2* h ??

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Ja. Hier musst du das einsetzen.

V = pi * r² * h mit h = 2x und r = y = b/a·√(a² - x²)

V = 2·pi·b²·x·(a² - x²)/a²

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ich kanns nicht

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V = pi * r² * h

ich ersetze r durch b/a·√(a² - x²)

V = pi * (b/a·√(a² - x²))² * h

ich ersetze h durch 2x

V = pi * (b/a·√(a² - x²))² * 2 * x

ich vereinfache das ganze. 

V = pi * b²/a²·(a² - x²) * 2 * x

V = 2 * pi * b²/a²·x·(a² - x²)

Das ist das was ich letztendlich heraus hatte.

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Es sollten zwei Lösungen herauskommen

Hauptachse und Nebenachse

V= 4*a*b²2*π*√3/9 und V= 4* a^{2 *}b * π *√3 / 9

 

wo kann der Fehler liegen ?

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Man kann für das Drehen um die Nebenachse b einfach a und b vertauschen. Dann wird ja um b gedreht.