Vollständige Induktion: Summe von Fakultäten A(n): (i=0)∑^n ( i! *i) = (n+1)! - 1 für alle n ∈ ℕ

Question

Könnte jemand mir erklärend folgende Aufgaben vorrechnen?

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???

Answer 1

a)    https://www.google.com/url?q=https://www.mathelounge.de/62799/beweisen-dass-fur-jede-naturliche-zahl-n-4-2-n-n-gilt&sa=U&ved=0ahUKEwj4tPPD9NjQAhWKVxoKHX_eDSQQFggEMAA&client=internal-uds-cse&usg=AFQjCNHfUFZJfzvklOgwOYYd1yInQFueMQ

b)

Zu zeigen A(n):   _i=0∑ⁿ ( i! *i) = (n+1)! - 1    für alle n  ∈ ℕ

A(0):  0! * 0  = 1! -1  ist wahr

A(n) →  A(n+1)

  _i=0∑ⁿ⁺¹ ( i! *i)   =  _i=0∑ⁿ ( i! *i) + (n+1)! * (n+1)  =_IV  (n+1)! - 1 + (n+1)! * (n+1) 

                            =  (n+1)! * (1 + n+1) - 1  = ( (n+1) + 1 )!  - 1 

c)

zu zeigen  A(n):    _j=2∏ⁿ  (j-1) / j  = 1/n    für alle n  ∈ ℕ_≥2

A(2):  (2-1) / 2  = 1/2 = 1/n  wahr

A(n) →  A(n+1)

_j=2∏ⁿ⁺¹  (j-1) / j  = (  _j=2∏ⁿ  (j-1) / j  ) * (n+1-1) / (n+1) =_IV  1/n * (n+1-1) / (n+1)

                            = 1/n * n / (n+1)  =  1 / (n+1)

Gruß Wolfgang

Comments

Ich habe a) nicht verstanden. Finde deine Schreibweise einfacher zu verstehen...

Answer 2

Beweis für erste Aussage in a): $$ 2^n<n!\quad ∀n≥4   $$

Induktionsanfang:

$$ n=4 ⇒ 2^n=2^4=2*(2^3)<4!=4*3*2*1=3*(2^3) $$

Induktionsschritt:

Wir nehmen an, Aussage sei richtig für $$ k>4 $$

also $$ 2^k<k! $$

bemerke, dass $$ 2^{k+1}=2*2^k ∧ (k+1)!=(k+1)*k!\quad  ,\quad  k+1>2 $$

$$ 2^{k+1}=2*2^k<2*k! $$

$$ 2*k!<(k+1)!=(k+1)*k! ⇒2^{k+1}<(k+1)! $$

$$ q.e.d. $$

Comments

verstehe das Zeichen zeichen nicht

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Das bedeutet "und", also mit  $$ A ∧ B $$
versteht man, dass A und B gleichzeitig wahr sind.