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Beweisen Sie, dass es außer der konstanten Funktion 0 keine artionale Funktion f mit f=f' geben kann.

Könnte man sagen dass für Polynome P, Q vom Grad > 0 eine rationale Funktion P/Q die Ableitung $$\frac { P'Q\quad -\quad PQ' }{ Q² } \quad \neq\quad \frac { P }{ Q } $$ da sich der Grad von P und Q oder nur Q nach der Ableitung verändert hat (gebrochenrationale funktion)

und für Polynome P vom Grad > 0, Q grad null die Ableitung P'≠P ist weil der grad von P kleiner nach der ableitung? (ganzrationale funktion)

ist und für Polynome P,Q vom Grad = 0 ohne dem Nullpolynom sind die Koeffizienten nicht alle gleich null und werden abgeleitet zu null also auch P/Q ≠ (P/Q)' (konstante funktion ohne null)

und für polynome P vom grad -∞ die nullpolynome die einzigen sind wo P=P' ist so dass alle koeffizienten null sind und abgeleitet wieder null sind? (konstante funktion der null)


was anderes ist mir leider nicht eingefallen dazu :( gibt es noch andere wege?

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Hi, deine Überlegungen finde ich schon recht nützlich. Wenn \(P\) und \(Q\) ganzrationale Funktionen sind, dann lässt sich die Forderung aus der Aufgabenstellung so formulieren:

$$ \begin{aligned}f &= f' \\\,\\\frac { P }{ Q } &= \left(\frac { P }{ Q }\right)' \\\,\\\frac { P }{ Q } &= \frac { P'Q - PQ' }{ Q^2 } \\\,\\PQ &= P'Q - PQ' \\\,\\\end{aligned} $$

Jetzt könnte man Gradüberlegungen anstellen.

1 Antwort

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> da sich der Grad von P und Q oder nur Q nach der Ableitung verändert hat (gebrochenrationale funktion)

Nein. Wenn du P vom Grad n>0 ableitest, dann ist zwar der Grad dieser Ableitung um 1 niedrieger als der Grad von P, aber der Grad von P ist immer noch n.

Avatar von 105 k 🚀

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