Extremstellen einer exponential Funktion bestimmen?

Question

Ich habe die Funktion f(x)=x²*e^-x und möchte den Hochpunkt und den Tiefpunkt bestimmen.

Die Bedingung dafür ist ja f`´(x)=0

e^-x(-x²+2x)=0

Fällt dann dass e^-x weg? Weil dann hätten man die Quadratische Funktion -x²+2x=0 und könnte sie dann mit der PQ-Formel lösen um,dann die Extremstellen für den X-wert zu bestimmen. Ist mein Ansatz richtig,dass e^-x weg fällt?

Wenn man die möglichen extremstellen in die Stammfunktion einsetzt fällt dort dass e^-x auch weg,um die Y wert zu bestimmen?

Answer 1

Also zunächst ist die Bedingung für die existenz eines extremums f'(x)=0 und nicht f"(x)=0. Aber vielleicht hast du dich nur vertippt.

Die ableitung hast du ja richtig gebildet. Hier ist es jetzt nicht so, dass etwas wegfällt. Vielmehr haben wir da ein Produkt stehen das null gesetzt ist und wenden den Satz vom nullprodukt an. Da e^{-x} nicht null werden kann, reicht es die andere Hälfte des produktes zu betrachten. Also

-x^2+2x=0

Hier brauchen wir jetzt auch keine pq-Formel sondern klammern ein x aus.

x (-x+2)=0

Wieder Satz vom nullprodukt.

x1=0

x2=2

fertig.

Answer 2

e^-x(-x²+2x)=0

Satz vom Nullprodukt:

e^-x=0 ->kann nicht 0 werden ->keine Lösung

-x²+2x=0 ->Ohne pq-Formel

x ausklammern:

x(-x+2)=0

Satz vom Nullprodukt

x₁=0

x₂=2