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Wäre sehr sehr hilfreich tuh mich da ganz schwer.

Es zu verstehen.

Avatar von 2,1 k
Es gibt keine injektiven oder surjektiven Vektoren. Injektivität und Surjektivität sind Eigenschaften von Abbildungen.

Ja stimmt mein fehler :)

Meinte das gnze wegen dieser aufgabe.               Bild Mathematik

Kannst du mir bitte dringen

Bei 3 meiner fragen helfen?

Brauche es bis morgen um 15 uhr^^.

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo immai,

f : ℝ2 → ℝ2  ;    \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)  ↦  \(\begin{pmatrix} 1&2\\ 1&-2\end{pmatrix}\) • \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)  =  \(\begin{pmatrix} x+2y \\ x-2y \end{pmatrix}\)

Die Abbildung ist injektiv, wenn zwei verschiedene Elemente von ℝ2 immer auch verschiedene Funktionswerte haben. Äquivalent kann man zeigen, dass gleiche Funktionswerte immer auch gleiche Urbilder haben:

f( \(\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\) ) = f( \(\begin{pmatrix} r \\ s \end{pmatrix}\) )

⇔  \(\begin{pmatrix} u+2v \\ u-2v \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} r+2s \\ r-2s \end{pmatrix}\) 

⇔  u+2v = r+2s    und  u-2v = r-2s

Addition der beiden Gleichungen  →  2u = 2r  →  u = r

Subtraktion der beiden Gleichungen  →  4v = 4s  →  v = s

→  \(\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} r \\ s \end{pmatrix}\)  →  f ist injektiv

---------

Die Abbildung ist surjektiv, wenn jedes \(\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\) ∈ ℝ2 tatsächlich als Funktionswert vorkommt, d.h. wenn sich immer passende x,y ∈ℝ finden lassen, so dass gilt:

\(\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} x+2y \\ x-2y \end{pmatrix}\)

Letzteres ist  mit x = 1/2 · (u+v)  und  y = 1/4 · (u-v)  richtig.

→  f ist surjektiv 

Gruß Wolfgang

  

Avatar von 86 k 🚀

Vielen vielen dank.

Muss aber nochmals alles durchlesehen und durch den kopf gehen lassen.

Brauche noch die erklärung für die afg.


https://www.mathelounge.de/405680/wie-bestimme-ich-dim-umd-kern-mit-anleitung-bitte 


Du bist grad mit matheretter zsm meine rettung!

Vielen dank nochmals ;)


;)

immer noch immer wieder gern :-)

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Hi immai,

nochmals in Schulmathematischen Worten fürs Verständnis:


Eine Funktion ist injektiv, wenn jeder Funktionswert y nur einmal von einem x-Wert angesteuert wird.


So ist beispielsweise die Funktion f(x) = x injektiv, da kein y-Wert zweimal angesteuert wird.

Für die Funktion g(x) = x^2 ist das nicht mehr der Fall. Für x = -1 und x = 1 erhalten wir den y-Wert 1, dieser wird also zweimal angesteuert. Wenn wir den Definitonsbereich allerdings auf die natürlichen Zahlen beschränken, oder nur ℝ^{+} betrachten, liegt ebenfalls Injektivität vor :).




Eine Funktion ist surjektiv, wenn jeder y-Wert mindestens einmal angesteuert wird.


So ist beispielsweise f(x) = x surjektiv, da jeder beliebige y-Wert erreicht werden kann.

Hingegen ist g(x) = x^2 nicht surjektiv, da wir unter anderem y = -1 nicht ansteuern können.


Grüße

Avatar von 140 k 🚀

Danke ;)

Wie überprüfe ich das aber mit vektoren?

Da geht das mit den einsetzen nicht so leicht oder?

Ich wollte nur die allgemeine Begrifflichkeit klären, ansonsten hat das ja Wolfgang schon vorgeführt :).

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