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Betrachten Sie die Menge F der linearen Funktionen von R nach R, also

F = l f: R →R l f(x)=mx+b mit m,b €R

Weisen Sie nach, dass die Menge F zusammen mit der Addition eine Gruppe bildet. Ist die Gruppe abelsch?

+:FxF→F

(f,g)↦f(x)+g(x)

wobei f(x)+g(x)=mx+b+nx+c mit f(x)=mx+b und g(x)=nx+c, m,n,b,c €R


Ich versteh kein Wort. Wer kann helfen und erklären?

von

F = l f: R →R l f(x)=mx+b mit m,b €R

Was ist mit dieser "Pipe" gemeint? Oder vielleicht: Was ist I ? 

oh, tut mir leid, dass sollte eine Klammer werden. Musst dir bitte weg denken

Mal n Versuch:

Abgeschlossenheit gilt, da wenn b,c,n,m,x aus R sind es auch Summe und Produkt.

Neutrales Element ist 0, da m + 0 = m = 0 + m

Inverses Element: m + (-m) = 0 = (-m) +m

Assoziativgesetz: erfüllt, da (mx + b) + nx + c = mx + (b + nx) +c

Kommutativgesetz: gilt, da mx + b + nx + c = c + nx + b + mx

???

2 Antworten

+1 Daumen

\( f_1 = ax+b \), \( f_2 = cx+d \), \( f_3 = ex+f \).

Abgeschlossenheit: Hat die Summe \( f_1+f_2 \) die Form \( mx+t \) ?

Neurales Element: \( (ax+b)+(mx+n) = (ax+b) \).

Inverses: \( (ax+b) + (cx+d) = (mx+n) \)

kommutativ: \( (ax+b)+(cx+d) = (cx+d)+(ax+b) \) ?

assoziativ: \( (f_1+f_2)+f_3 = f_1+(f_2+f_3) \) ?

Grüße,

M.B.

von

Abgeschlossenheit hab ich schon

(mx+b) + (nx+c) = mx+nx+b+c = (n+m)x +b+c

(n+m)= m     b+c=t

=> mx+t

Ist dieselbe Struktur

Steht doch alles in meiner Antwort :-)

Wolfgang.... Bei dir versteh ich neutrales und inverses Element nicht, aber das lassen wir jetzt mal weg. Den Rest versteh ich, und hatte ich ja auch schon so vermutet, ich kann es nur einfach nicht aufschreiben als wär ich n Mathematiker :-) sorry :-) vielen Dank :-)

Deine Beweise für assoziativ und kommutativ sind falsch. Du lässt die Klammern einfach weg und sagt, es sei gleich, aber genau das sollst Du doch beweisen, nämlich ob Du die Klammern einfach weglassen kannst. Außerdem muss Dein Ergebnis in \(G\) liegen, also auch die Struktur haben.

assoziativ (links):

\( ((mx+b) + (nx+c) ) + (ox +d) = (mx+b+nx+c) + (ox+d) = ((m+n)x+(b+c)) + (ox+d) \)

Hier hat die erste Summe schon einmal die gewünschte Struktur. Weiter:

\( \dots = (m+n)x+(b+c) + ox+d =  (m+n+o)x+(b+c+d) \)

Passt.

Den Rest darfst Du selber machen.

Grüße,

M.B.

Also ich gebe jetzt einfach auf. Man muss auch mal einsehen, wenn man was nicht kann :-)

Aber vielen Dank für die geduldige Hilfe, aber ich glaub, hier so über ein Forum ist es für mich zu schwer zu verstehen.

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Hallo brixx,

das Ganze erscheint wohl für dich unübersichtlich, weil hier lineare Funktionen mit den Vorschrift x ↦ mx+n  addiert werden, indem man einfach ihre Funktionsterme addiert:

f1 : ℝ → ℝ ; f1(x) = ax + b  ;  f2 : ℝ → ℝ ;  f2(x) = cx + d

f1 + f2 : ℝ → ℝ ;  [ f1 + f2 ] (x) =  f1(x) +  f2(x) =  (ax + b) + (cx + d)

                                 =  ax + b + cx + d = (a+c) ·x + c+d  = m · x + n

die Summe zweier Funktionen ist aslo wieder eine lineare Funktion

               → Abgeschlossenheit von (F,+) 

mit  m=0 und n=0 -  also x ↦ 0  - hast du die neutrale Funktion  fn  mit  f + fn = f  für alle f ∈ F

für x ↦ mx + n  ist  x ↦ - m ·x - n   jeweils die inverse Funktion, weil die Summe x ↦ 0 ergibt.

Für das Assoziativgesetz betrachten wir drei Funktionen

x ↦ ax + b  ;  x↦ cx + d  und x ↦ ux + v 

Im Folgenden steht jeweils der Funktionsterm als Kurzbezeichnung für die zugehörige Funktion, weil ja sowieso nur mit den Funktionstermen gerechnet wird:

[ (ax + b)  +  (cx + d) ]  + (ux + v) 

In dieser Summe kannst du die "eckigen" Klammern verschieben ( Assotiativgesetz in (ℝ,+) ):

=  (ax + b)  + [  (cx + d)  + (ux + v) ]   

→ Assoziativgesetz in (F,+)  

 →  (F,+)  ist ein Gruppe

Wegen  (ax + b) + (cx + d)  = (cx + d)  + (ax + b)  nach dem Kommutativgesetz in (ℝ,+)  gilt auch in (F,+) das Kommutativgesetz. 

(F,+) ist also eine abelsche Gruppe

Gruß Wolfgang

von 84 k 🚀

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