Phi(x,y,z) :=( (x - 2y + 3z), (-x + 2y + z)). {Φ(b2 ),Φ(b3 )} ist eine Basis des Bildraums ℝ2 zeigen

Question

 Phi(x,y,z) :=( (x - 2y + 3z), (-x + 2y + z)) 

Zeigen Sie, dass eine Basis B von ℝ³ durch die drei Vektoren 

gegeben ist. Zeigen Sie außerdem, dass {Φ(b2 ),Φ(b3 )} eine Basis des Bildraums ℝ² ist.

EDIT: Kopie aus Kommentar:

B:= {b1, b2, b3}

Comments

Es seien E₂ und E₃ die Standardbasen des reellen Vektorraums ℝ² bzw. ℝ³ und Φ : ℝ³  → ℝ²  die durch 

gegebene lineare Abbildung.

a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix $${ M }_{ { E }_{ 2} }^{ { E }_{ 3 } }\left( Φ \right)$$ bezüglich der Standardbasen. EDIT(Lu) korrigiert gemäss 1. Kommentar. 

b) Bestimmen Sie den Kern ker Φ und das Bild Φ(ℝ³ ) von Φ. Ist Φ injektiv? Ist Φ surjektiv? 

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tut mir leid, meinte natürlich $${ M }_{ { E }_{ 2 } }^{ { E }_{ 3 } }\left( Φ \right)$$ zu a).

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EDIT: Habe das so korrigiert in deiner Frage. Bist du sicher, dass 2 unten und 3 oben ist?

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Wie ist Phi definiert?

Ist die Basis B:= {b1, b2, b3}  ?

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ja, bin mir sicher ;)

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Wie ist Phi definiert?

Ist die Basis B:= {b1, b2, b3}  ?

ja 

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Es gibt übrigens die weiteren Teilaufgaben im Kommentar hier als Frage nochmals   https://www.mathelounge.de/409443/abbildungsmatrix-bezuglich-der-sta…

Answer 1

A  sei die Matrix der Spaltenvektoren von   {  b₁ , b₂ , b₃ } :

⎡ 2  1   3 ⎤

⎢ 1  0   0 ⎥

⎣ 0  1  -1 ⎦

Gauß-Algoritmus:

⎡ 2   1    3 ⎤

⎢ 0   1    3 ⎥      -2 * Z2 + Z1

⎣ 0   1   -1 ⎦

---------

⎡ 1   0      0 ⎤

⎢ 0   -1    -3 ⎥

⎣ 0   0     -4 ⎦        Z3 - Z2

Rang(A) = 3  →   die Spaltenvektoren sind linear unabhängig

 →   {  b₁ , b₂ , b₃ }   ist eine Basis des ℝ³

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Φ($\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$)  =  $\begin{pmatrix} x-2y+3z \\ -x+2y+z \end{pmatrix}$

Φ(b₂)  =  Φ($\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$)  =   $\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$

Φ(b₃)  =  Φ($\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$)  =   $\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix}$

 Da Φ(b₂) und Φ(b₃)  keine Vielfachen voneinander sind,  ist  { Φ(b₂) ; Φ(b₃) } linear unabhängig und deshalb eine Basis des ℝ₂

Gruß Wolfgang