Inverse Matrix mit Unbekannten bestimmen ((x,-1,0),(0,x,-1),(0,2,3x))

Question

Kann mir jemand helfen bei der Berechnung der inversen Matrix ?

x	-1	0
0	x	-1
0	2	3*x

Comments

Sollst du nur feststellen für welche x diese Matrix invertierbar sind oder die inverse Matrix auch noch angeben, falls sie existiert?

Zur Kontrolle:

((x,-1,0),(0,x,-1),(0,2,3x)) 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=invert+((x,-1,0),(0,x,-1),(0,2,3x))

Null im Nenner musst du ausschliessen.

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Was spricht gegen die Verwendung des Gauß-Algorithmus?

Answer 1

Vorweg: Auch die inverse Matrix wird x enthalten. Daher ist es zweckmäßig, x wie einen Parameter anzusehen.

Ein sehr aufwändiges Verfahren beginnt mit  (A sei die gegebene Matrix, A^-1 sei die zu A inverse Matrix und

       1  0  0

N=   0  1  0

        0  0  1

          a  b  c

A^-1=  d  e  f

          g  h  i

Der Ansatz A·A^-1=N führt auf drei Blöcke zu je drei Gleichungen mit drei Unbekannten (und dem Parameter x). Damit lassen sich die Unbekannten a, b, c, d, e, f, g, h, i über den Parameter x ausdrücken. Setzt man diese in A^-1 wieder ein ergibt sich (k steht für 3x²+2)

1/x   3/k   1/(kx)

 0    3x/k  1/k

 0   -2/k    x/k

Answer 2

$$ { A }^{ -1 }=Adj(A)/Det(A) $$

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Adjunkte

Answer 3

es gilt x ≠ 0, sonst ist die Determinante 0 und die Inverse existiert nicht.

Standardverfahren:    (Schreibe die Einheitsmatrix neben die Matrix.)

⎡ x  -1      0     1  0  0 ⎤

⎢ 0   x     -1     0  1  0 ⎥

⎣ 0   2    3·x    0  0  1 ⎦

Mit dem Gauß-Algorthmus schafft man jetzt die Einheitsmatrix aus den drei letzten in die 3 ersten Spalten:

Z3 - 2/x * Z2:               ( ; trennt Matrixzeilen )

[x , -1 , 0 , 1, 0 ,  0  ;   0 , x, -1 , 0 , 1, 0  ;   0 , 0 ,  (3·x² + 2) / x ,  0 , - 2/x , 1]

Z2 +  x/(3·x² + 2) * Z3:

[x , -1, 0 , 1, 0 , 0  ;  0 , x , 0 , 0, 3·x²/(3·x² + 2) , x/(3·x² + 2)  ;

 0 , 0 ,  (3·x² + 2)/x , 0 , - 2/x , 1]

Z1 + 1/x * Z2:

[x, 0, 0, 1, 3·x/(3·x² + 2), 1/(3·x² + 2)  ;  0, x, 0, 0, 3·x²/(3·x² + 2), x/(3·x² + 2) ;

0, 0, (3·x² + 2)/x, 0, - 2/x, 1]

Division durch die Diagonalenelemente der 3 ersten Spalten  ergibt in den drei letzen Spalten die inverse Matrix:

[1/x ,  3/(3·x² + 2) ,    1/(x·(3·x² + 2))  ; 

 0 ,    3·x/(3·x² + 2) ,   1/(3·x² + 2)      ; 

0,     - 2/(3·x² + 2) ,     x/(3·x² + 2) ]

Gruß Wolfgang