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Hallöchen,

ich habe da mal eine Frage...

Die Aufgabe lautet: Welche Tangenten des Graphen G1 schließen mit der x Achse einen Winkel von 45 Grad ein?

Es wurde nichts gegeben, außer die Funktion f(x) = 1/3xhoch3 - xhoch2 + x + 1/3

Und eine weitere Frage lautet: Wie kann man am Term von f´(x) erkennen, dass es keine Tangente mit negativem Steigungswinkel gibt.

ch verstehe die Aufgaben nicht recht

Die erste Ableitung lautet ja: f´(x) = xhoch2 - 2x + 1


Liebe Grüße und Dankeschön

von

2 Antworten

+2 Daumen

Die erste Ableitung ist schon mal richtig. Eine Gerade, die mit der positiven x.Achse einen Winkel von 45° bildet hat überall die Steigung 1. "Steigung" und "Ableitung" sind Synonyme. Also geht es um die Frage: An welchen Stellen ist die erste Ableitung gleich 1? In Form einer Gleichung: Was sind die Lösungen von x2 - 2x + 1 = 1? Nach Subtraktion von 1 auf beiden Seiten entsteht x2-2x=0 oder x(x-2)=0. Ein Produkt ist nur dann gleich 0, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist, also x=0 oder x=2.

Jetzt müssen noch die Tangentenberührpunkte gefunden werden. Das sind die Punkte (0/f(0)) und (2/f(2)). Dann kann man jeweils b im Ansatz y=x+b bestimmen und damit zwei Geradenleichungen gewinnen zu den gesuchten Tangenten..

Die zweite Frage "Wie kann man am Term von f´(x) erkennen, dass es keine Tangente mit negativem Steigungswinkel gibt?" sollte besser heißen "Wie kann man am Term von f´(x) erkennen, dass es keine Tangente mit negativer Steigung gibt?" Antwort: Man muss überlegen ob f '(x)<0 gelten kann.

von 58 k

"Eine Gerade, die mit der positiven x.Achse einen Winkel von 45° bildet hat überall die Steigung 1 oder überall die Steigung -1. " (solange man nicht positive und negative Winkel unterscheidet) 

Dankeschön für die hilfreiche Antwort

Allerdings habe ich das mit den Tangentenberührpunkte nicht ganz verstanden. was muss man bei y = x + b machen?

Und ich habe nochmal eine Frage zu der letzten Aufgabe

Müsste das dann so lauten: f´(x) = x hoch 2 - 2x + 1 < 0?

Oder ist das falsch?

Ich hatte geschrieben: Jetzt müssen noch die Tangentenberührpunkte gefunden werden. Das sind die Punkte (0/f(0)) und (2/f(2)). Dann kann man jeweils b im Ansatz y=x+b bestimmen und damit zwei Geradenleichungen gewinnen zu den gesuchten Tangenten.

Ich mache es für den Punkt (0/f(0)) einmal vor: Zunächst berechne ich f(0)=1/3. Dann setze ich (0;1/3) in y = x+b ein: 1/3=0+b oder b=1/3, Die Tangente hat dann die Gleichung y =x+1/3.

Da Lu vermutlich recht hat, könnte es insgesamt 4 Tangenten geben (noch nachprüfen!).

+1 Punkt

Die Aufgabe lautet: Welche Tangenten des Graphen G1 schließen mit der x Achse einen Winkel von 45 Grad ein ?

Der Winkel zwischen der x-Achse und einer weiteren Geraden
die die x-Achse schneidet wird normalerweise gegen den
Uhrzeigersinn angegeben.
0 - 90 - 180 - 270 Grad.
Wie im Koordinatensystem.

Man kann aber auch 315 ° = - 45 °  oder auch
abs 45 ° annehmen. Ich beschränke mich hier auf den 1.Fall
der Winkelhalbierenden des 1.Quadranten.

Es wurde nichts gegeben, außer die Funktion f(x) = 1/3xhoch3 - xhoch2 + x + 1/3

f ( x ) = 1/3 * x^3 - x^2 + x + 1/3

Die erste Ableitung lautet ja: f´(x) = xhoch2 - 2x + 1

f ´( x ) = x^2 - 2 * x 1

Ich versuche einmal eine mathematischere Antwort

Für einen Berührpunkt ( hier die Funktion und die
Tangente ) gilt

f ( x ) = t ( x ) ( Schnittpunkt )
f ´( x ) = t ´( x ) ( die Steigung ist im Schnittpunkt gleich )

f ( x ) = 1/3 * x^3 - x^2 + x + 1/3
f ´( x ) = x^2 - 2 * x  + 1

t ( x ) = m * x + b ( Geradengleichung )
t ´( x ) = m
m ist die Steigung der Tangente und beträgt
lauf Aufgabenstellung 1 ( 45 ° )

f ´( x ) = t ´( x ) ( die Steigung ist im Schnittpunkt gleich )
x^2 - 2 * x  + 1 = 1
x^2 - 2 * x = 0
pq-Formel oder quadratische Ergänzung
oder hier einfacher Satz vom Nullprodukt
x^2 - 2 * x = 0
x * ( x - 2 ) = 0
x = 0
x = 2

f ( 0 ) =  1/3 * 0^3 - 0^2 + 0 + 1/3 = 1/3

Schnittpunkt ( 0 | 1/3 )
Für die Tangente gilt derselbe Punkt
y = 1 * 0 + b = 1/3
b = 1 /3

Tangentengleichung
t ( x ) = 1 * x + 1/3

Bild Mathematik


Und eine weitere Frage lautet: Wie kann man am Term von f´(x) erkennen, dass es keine Tangente mit negativem Steigungswinkel gibt.

f ´( x ) = x^2 - 2 * x  + 1
ist die 2.binomische Formel
f ´( x ) = ( x - 1)^2

Die rechte Seite ist durch das Quadrat immer positiv
oder null.
Die Steigung der Funktion ist also immer
positiv oder 0.
Eine Tangente kann auch nur diese Steigung
haben also nicht -1.

Bei Bedarf nachfragen.

mfg Gold-und-Silber-lieb-ich sehr

von 2,5 k

ohh danke, für diese ausführliche und tolle antwort :)

Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann wieder
einstellen.
Vergleich meine Antwort einmal mit der von Roland.
Es sind dort andere Formulierungen aber im
Prinzip dieselbe Antwort.

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