Funktionalgleichung der Exponentialfunktion

Question

Hallo :)

Ich habe eine Frage zu der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.

Es geht um die auf dem Foto gezeigte Aufgabe wo eine leere Wertetabelle mit Hilfe der obrigen Regel aufgefüllt werden soll. Dies und deren darunter gezeigte Auflösung ist soweit verständlich. Jedoch habe ich Schwierigkeiten, einen Zusammenhang zwischen der Aufgabe mit der Wertetabelle und der weiter unten gezeigten Regel f(x+y) = f(x) * f(y) zu sehen.

Wo wird in der Aufgabe mit der Wertetabelle zum Beispiel f(x+y) zusammengerechnet oder f(x)*f(y) ?

Vielen Dank

Answer 1

f(x+y) zusammengerechnet oder f(x)*f(y) ?

z.B. bei   x=-3 und y=1 :

f(-2) = f ( -3 + 1 ) = f(-3) * f(1) = 1/8   *  2   = 1/4


und dann   x=-2 und y = 1

f(-1) = f ( -2 + 1 ) = f(-2) * f(1) = 1/4   *  2   = 1/2    etc.

Comments

Es ist klarer geworden.

Jedoch habe ich eine Frage zu Ihrer Antwort.

Wieso ist bei Ihnen das y 1 obwohl im Beispiel meiner Frage das x 1 war ?

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wer da x oder y ist, ist doch egal. Kann man ja rumdrehen.

Answer 2

Für die Funktion f ( x ) = 2^x gilt

f ( 1 + 2 ) = 2^{1+2} = 2^1 * 2^2 = f ( 1 ) * f (2 )

Die Aufgabe erscheint mir reichlich wirr und ist
mir in der Praxis auch noch nicht vorgekommen.

Nach dem Motto : warum einfach wenn es auch
umständlich geht.

Comments

Dankeschön!

Eine Frage noch:

Für was genau  steht das y bei f(x+y)

Um wieviel  die X-Werte vergrößert werden ?

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Das zur Verfügung gestellte Baltt soll wohl dazu
dienen nachzuweisen das für Exponentialgleichungen
f ( x ) = a^x
gilt.

f ( k + m ) = f ( k ) * f ( m )

Dies wäre auch ein Nachweis für f ( x ) = a^x

f ( k + m ) =  a^{k+m} = a^k * a^m = f ( k ) * f ( m)

Dies soll wohl die " Funktionalgleichung der
Exponentialfunktion " sein

Der Summe zweier Zahlen wird das Produkt ihrer Funktionswerte zugeordnet.

Ist mir in meiner Praxis bisher noch nicht
vorgekommen.