Lagrange Methdode: Punkte der Hyperbel x2-y2=1 mit kleinsten Abstand zu P=(0;1)

Question

Bestimmen Sie mit der Lagrange Methode, diejenigen Punkte der Hyperbel x² - y² =1 mit dem kleinsten Abstand zu P=(0;1)

Als Zielfunktion habe ich: x²-y²=1 gewählt.
Meine Nebenfunktion: d²= (x-0)² + (y-1)²
Folglich lautet meine Lagrange Formel: L(x,y,λ)= x²+(y-1)² +λ(x²-y²-1)

Die Ableitungen habe ich dann partiell so gebildet:

Lx= 2x-2xλ
Ly= 2y-2+2yλ
Lλ= x²-y²-1

Insofern obiges richtig ist, stellt sich mir nun die Frage, wie ich weiter verfahren kann? Ich schaffe es nicht eine Variable zu determinieren und komme wenn dann auf das Ergebnis 1=0. Ohne die Lagrange Methode konnte ich die Aufgabe lösen.

Answer 1

Lagrange hast du richtig aufgestellt. Aber Achtung. Du hast vom Namen Zielfunktion und Nebenbedingung falsch benannt gehabt.

L(x, y, k) = (x - 0)² + (y - 1)² + k·(x² - y² - 1) 

Ich lasse das nur mal von meinem Freund Wolfram lösen. Der macht das schneller.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Minimize%5B%7B(x+-+0)%5E2+%2B+…

Das sollte deine Kontroll-Lösung sein. Probiere jetzt selber mal dahin zu kommen.

Du setzt alle gemachten ableitungen gleich 0 und hast ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten. Das solltest du lösen können.

Answer 2

Bestimmen Sie mit der Lagrange Methode, diejenigen Punkte der Hyperbel $x^2 - y^2 =1$ mit dem kleinsten Abstand zu $P(0|1)$

Zielfunktion $d^2= (x-0)^2 + (y-1)^2$ soll minimal werden. NB: $x^2 - y^2 =1$

$L(x,y,λ)=x^2+(y-1)^2+λ(x^2 - y^2 -1)$

1.)  $L_x(x,y,λ)=2x+2λx$

2.) $L_y(x,y,λ)=2(y-1)-2λy$

3.) $L_λ(x,y,λ)=x^2 - y^2 -1$

1.)  $2x+2λx=0$  → $x+λx=0$ →  $x(1+λ)=0$       $x=0$      $λ=-1$ 

2.) $2(y-1)-2λy=0$  → mit $λ=-1$  :    $y-1+y=0$ → $y= \frac{1}{2}$ 

3.)

$x^2 - y^2 =1$       $x^2 - \frac{1}{4} =1$

$x_1 =\frac{1}{2}\sqrt{5}$  oder   $x_2 =-\frac{1}{2}\sqrt{5}$