Berechnungen am Rechtwinkligen Dreieck mit Bezihungen zwischen den Winkeln

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Bei der Aufgabe 10. a) kann ich ja berechnen das sin30 grad sind 0.5 da ist es mir klar dass das auch 1/2 sind, aber bei cos hoch 2 30 grad kann ich zwar berechnen dass das 0.75 sind aber wie kann ich das im bruch schreiben? Und wie kann ich das auf einem Dreieck einzeichnen also welche Winkel brauch ich für sinus und cosinus? Oder wie geh ich am besten bei solchen Aufgaben vor ?

Bild Mathematik

Gefragt 11 Jan von Gast bh8133

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+1 Punkt

Du kannst alle Punkte unter Aufgabe 10 auf wenige Informationen zurückführen. Betrachte dazu den Einheitskreis, in den ich den Winkel von +30° (blau) eingezeichnet habe:

Bild Mathematik 

Der gegenüberliegen Winkel in P (gelb) ist demnach 60°, was aus der Winkelsumme im Dreieck OFP folgt. Nun spiegele ich P an der X-Achse zu P' und erhalte das gleichseitige Dreieck OPP'. Gleichseitig deshalb, weil alle Winkel identisch zu 60° sind. Da die Strecke OP immer =1 ist (Einheitskreis) muss PF zwangsläufig \(\frac{1}{2}\) sein. Die Strecke PF entspricht aber auch \(\sin 30°=\sin  \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\).

Der \(\cos 30°=\cos \frac{\pi}{6}\) entspricht der Strecke OF und lässt sich über den Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck OFP berechnen. $$\cos 30°=\cos \frac{\pi}{6}=OF=\sqrt{1-\left( \frac{1}{2}\right)^2 }=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$ Überhaupt gilt für jeden(!) Winkel \(\phi\) $$\sin^2 \phi + \cos^2 \phi=1$$

a) jetzt nur einsetzen: $$\sin 30° + \cos^2 30°= \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \sqrt{3}\right)^2= \frac{5}{4}$$

b)  hier kommt jetzt eine neue Sache hinzu: Es gilt auch immer \(\cos \phi = \sin{(90°-\phi)} = \sin{(\frac{\pi}{2}-\phi)}\), was sich leicht an einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck überprüfen lässt. Das der \(\tan \phi = \frac{\sin \phi}{\cos\phi}\) ist sollte bekannt sein. Demnach ist hier $$\tan \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{3}=\frac{\sin \frac{\pi}{6}}{\cos \frac{\pi}{6}} + \sin {(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3})}=\sin \frac{\pi}{6} \left( \frac{1}{\cos \frac{\pi}{6}} + 1\right) = \frac{1}{2}\left( \frac{2}{\sqrt{3}}+1 \right)=\frac{1}{6}(2\sqrt{3} + 3)$$

c) nimm hier die 3.binomische Formel $$\sin^4 60° - \cos^4 60°=(\sin^2 60° + \cos^2 60°)(\sin^2 60° - \cos^2 60°)$$ .. und den Rest schaffst Du alleine, wenn Du weißt, dass auch \(\sin \phi = \cos{(\frac{\pi}{2}-\phi)}\) ist (s.o.)


d) nimm beide Faktoren unter eine gemeinsame Wurzel $$\sqrt{1 + \cos 30°} \sqrt{1 - \cos 30°}= \sqrt{(1 + \cos 30°)(1 - \cos 30°)}=\sqrt{1 - \cos^2 30°}$$ und das hatten wir auch schon (s.o.)

Gruß Werner

Beantwortet 11 Jan von Werner-Salomon Experte II

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