Parabelgleichung aufstellen anhand von drei gegebenen Punkten

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Gegebene Punkte:
A=(0;1)
B=(1;2)
C=(2;1)

Parabel mit y= a2x2 +a1x + a0 geht durch diese Punkte. Wie lautet die Parabelgleichung?

Stimmt folgender ANfang: f(0)=1  deshalb ist x0=1 ? Und wenn ja: Wie geht es weiter?
Gefragt 11 Jan von Elamda

3 Antworten

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Beste Antwort

In diesem Fall ist es sehr einfach, da die Punkte A und C symmetrisch zur Senkrechten durch B liegen. Damit ist B der Scheitelpunkt der Parabel wie hier zu sehen ist:

Bild Mathematik 

Mit etwas Erfahrung lässt sich sofort die Scheitelpunktform der Parabel hinschreiben: $$f(x)=-(x-1)^2+2=-x^2+2x+1$$


Im Allgemeinen löst man dies über Einsetzen in die von Dir bereits erwähnte allgemeine Form \(f(x)=a_2 x^2 + a_1 x + a_0\). Dann erhält man $$a_2 \cdot 0^2 + a_1 \cdot 0 + a_0 = 1 \quad \Rightarrow a_0=1$$ $$a_2 \cdot 1^2 + a_1 \cdot 1 + a_0=2$$ $$a_2 \cdot 2^2 + a_1 \cdot 2 + a_0 = 1 $$ Aus der zweiten Gleichung folgt dann, dass \(a_1=1-a_2\) und wenn man dies in die dritte einsetzt, so erhält man \(4a_2 + 2(1-a_2) + 1 = 1\) bzw. \(a_2=-1\). Ist natürlich das gleiche Ergebnis: $$f(x)=(-1)x^2 + 2x +1$$ Gruß Werner

Beantwortet 11 Jan von Werner-Salomon 7,5 k

DAnke, genau sowas habe ich gesucht!

+1 Punkt

Hallo,

                                

Bild Mathematik

Beantwortet 11 Jan von Grosserloewe 54 k

Vielen Dank!
Eine Frage noch: Warum ist bei C "1=4a2"? Woher kommt die 4?

Hallo,

hier wurde der Punkt C in die Aufgabe eingesetzt:

1= a2 *2^2 +a1 *2 +1

1= a2 *4 +a1 *2 +1

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Schau mal, kannst Du etwas mit einem dieser  Lösungswege anfangen?

Beantwortet 11 Jan von Oldie 3,0 k

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