Lineare Optimierung: Herstellung 2er Produkte beansprucht Zeit auf 3 Maschinentypen.

Question

wie muss ich den Fall aufbauen?

In einem Unternehmen werden in einem bestimmt Zeitraum die Produkte P1 und P2 hegrestellt. Zur Fertigung müssen diese Produkte jeweils durch Maschine vom Typ A, B und C bearbeitet werden. Der erzielbare Gewinn beträgt g1=2 GE pro Stk P1 bzw. g2= 3 GE pro Stück P2. Die Inanspruchnahme der einzelnen Maschinentypen durch die einzelen Produkte sowei dei jeweilige Maschinenkapazität sond in der Tabelle dargestellt.

 

	Bearbeitungszeit (h/ Stk.)	Bearbeitungzeit (h / Stk.)	Kapazität (H)
	P1	P2
Maschine A	2	1	200
MAschine B	1	1	120
Maschine C	1	3	240

Gesucht sidn die Stückzahlen X1 von Produkten P1 bz. x2 von Produkte P2, die unter Berücksichtigung der Kapazitäten (Restriktionen) zu einem maximalen Gewinn G führen.

 

Wie mus ich vorgehen? Kapier das mit der linearen Optimierung nicht.

Answer 1

Du könntest die Restriktionsgeraden in ein Koordinatensystem zeichnen.

2·x + y ≤ 200
x + y ≤ 120
x + 3·y ≤ 240

Weiterhin kannst du eine Gerade einzeichnen die gleiche Gewinne kennzeichnet

2x + 3y = G

Dieser gerade zeichnen wir jetzt in den Grenzpunkten ein um zu schauen welcher der Punkte den höchsten Gewinn erlaubt.

Im folgenden haben wir den maximalen Gewinn, wenn wir 60 P1 und 60 P2 herstellen.

Es gibt aber noch andere Algorithmen die beste Produktionsmenge zu finden. Zu nennen wäre hier z.B. der Simplex Algorithmus. Ich weiß aber nicht in wie weit ihr die Verfahren schon kennengelernt habt.

Comments

Und wie löse ich das ganze mathematisch ?

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Das ist eine mathematische Lösung, wie sie ca. im 9. Schuljahr behandelt wird. (Thema: Lineare Funktionen)

2x + 3y = G(x,y) wird oft Zielfunktion genannt.

Linien mit gleichem Gewinn sind alle parallel zueinander. Beispiele, die du einzeichnen kannst.

2x + 3y = 100     --> y = (100 - 2x)/3 = 33.33 - 2/3 x

2x + 3y = 200           y= 66.66 - 2/3 x

2x + 3y = 300          y = 100 - 2/3 x

Nun verschiebst du so weit wie möglich im Gebiet, das von den Nebenbedingungen (Ungleichungssystem) zugelassen ist.
Nun kannst du ablesen, welche beiden Geraden du miteinander schneiden musst. Daraus ergeben sich dann die Einzelheiten der Produktionsplanung.

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Ich habe oben z.B. noch das Simplex Verfahren genannt. Leider weiß ich nicht welches System ihr kennengelernt habt für solche Optimierungsprobleme.
Daher habe ich es oben mal mit einem Verfahren gelöst das man ab 8. oder 9. Klasse anwenden kann sobald man lineare Funktionen angesprochen und Ungleichungen angesprochen hat.

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und wie löse ich das das ich auf P1 und P2 gleiche 60 komme? oder geht as nur übers zeichnen?

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Welche Verfahren habt ihr denn bisher angewendet?

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Simplex Algorithmus

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Schau dazu folgendes Video an, weil ich meine Lösung nicht kommentieren werde. Das ist am Video einfacher nachzuvollziehen.

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boch eine Frage:

Beim Koordinatensystem, wie zeichen ich die rote Gerade ein, wo habe ich die Lösungsmenge dafür?

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Hier meine Lösung mit dem Simplex-Verfahren. Pivot-Elemente habe ich markiert.

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Die rote gerade hat die Gleichung

2x + 3y = G

y = (G - 2x)/3 = -2/3*x + G/3

Du zeichnest dann die Gerade mit dem Höchstmöglichen G ein. Dazu schaust du dir irgendeine Gerade mit der Steigung -2/3 an und verschiebst sie so lange nach oben, bis wir gerade noch eine Schnittmenge mit der Lösungsmenge haben.

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wie genau sind denn die schritte zwischen ausgangs und endtableau?

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hab jetzt soweit alles nochvollzogen, aber ich häng noch am letzten schritt, wie komm ich auf die 300 bzw. auf die 20 bei I und die 60 bei III

die 60 bei II hab ich, das ist ja der quotient

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hab jetzt soweit alles nochvollzogen, aber ich häng noch am letzten schritt, wie komm ich auf die 300 bzw. auf die 20 bei I und die 60 bei III

die 60 bei II hab ich, das ist ja der quotient


--> ich habs, kann es sein das das vielleicht bei dir etwas durcheinander geraten ist?


ich schreibe meine lösung jetzt mal ins reine, und poste sie dann

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Ja mach das mal.
I' = I - 5/2 * II

III' = III - 1/2 * II

IV' = IV + 3/2 * II

Sollte eigentlich nur eine Gauss-Umformung sein. Also nichts spektakuläres. Das ungewöhnliche ist ja nur die bestimmung der Pivotspalte und der Pivotzeile. Der Rest ist eigentlich Standard.