Lineare Optimierung: Modell für das Entscheidungsproblem aufstellen

Question

ich bräuchte bitte Hilfe bei der Aufstellung des Entscheidungsproblems. Ich bin mir bei meiner Zielfunktion (Z) und meinen Nebenbedingungen (u.d.N.) nicht sicher ob diese richtig sind, da ich noch nie minimiert habe...

Aufgabe:

Eine Cateringfirma muss eine
Entscheidung darüber treffen, für wie viele Stunden sie Barkeeper und
Servicekräfte bei einer Firmenfeier einplant. Aus Erfahrungen mit ähnlichen
Veranstaltungen ist bekannt, dass insgesamt 120 Arbeitskräftestunden geplant
werden müssen. Aus ablauforganisatorischen Gründen ist bei der Planung darauf
zu achten, dass höchstens dreimal so viele Stunden für Servicekräfte wie für
Barkeeper geplant werden. Zudem hat es sich bewährt, mindestens 50
Arbeitskräftestunden für Barkeeper zu planen. 

Die Lohnkosten pro Stunde liegen für
Barkeeper bzw. Servicekräfte bei 20€ bzw. 10€. Für die Durchführung der
Firmenfeier erhält die Cateringfirma eine fix Vergütung i. H. v. 5000€.

Problem/Ansatz:

Entscheidungsvariablen:
  Xs: Arbeitsstunden Servicekräfte

  Xb: Arbeitsstunden Barkeeper

 Ks: Lohnkosten Servicekräfte

 Kb: Lohnkosten Barkeeper

Zielfunktion:

  Z= min  5000 - (Ks*Xs+Kb*Xb)    (ich muss hier die fixe Vergütung mit beachten richtig?)

u.d.N.:

(1) Xs +Xb <"gleich" 120   (Arbeitsstunden Gesamt)

(2) Xb <"gleich" 50   (Arbeitsstunden Barkeepr)

(3) Xs >"gleich" 3*Xb  (Arbeitsstunden Servicekräfte)   (hier bin ich mir auch unsicher)

Nichtnegativitätsbedingung:

(4) Xs,Xb,Ks;Kb >"gleich" 0

Ich denke das waren alle Bedingungen zum aufstellen? oder habe ich noch etwas vergessen?

Vielen Dank im Voraus für die Mühe :).

Comments

(3) Xs ≥ 3*Xb  (Arbeitsstunden Servicekräfte)  (hier bin ich mir auch unsicher)

Meiner Meinung nach muss das ≥ umgedreht werden

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Vielen Dank für die Antwort.

Könntest du mir bitte erklären warum?

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Du sollst diese ZIelfunktion nicht minimieren, sondern maximieren.

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Angenommen x_b=7, dann muss (i) x_s≤21 sein. x_b=7 bedeutet (ii) 21=3x_b. (ii) in (i) eingesetzt: x_s≤3x_b.

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@döschwo

Auch wenn in der Aufgabenstellung steht mit dem Ziel der Kostenminimierung? Ich dachte das die Zielfunktion deswegen minimiert wird?

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Dann ist die ZIelfunktion falsch.

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@Roland

Vielen dank für diesen Tipp!! :))

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@döschwo

Jetzt bin ich komplett verwirrt.  Warum ist diese falsch? Ich habe eine Vergütung die ich erhalte und davon muss ich meine Lohnkosten abziehen oder nicht?

Answer 1

Wenn Du die Kosten minimieren willst, sollst du nicht den Gewinn als Zielfunktion aufstellen. Der Gewinn (Vergütung minus Kosten) soll maximiert werden, die Kosten minimiert. Bei fixer Vergütung ergibt das zwar dieselbe Lösung, aber in einem Fall wird minimiert, im anderen maximiert. Die von Dir aufgeschriebene Zielfunktion würde den Gewinn minimieren, und das würde man erreichen, indem man die Kosten maximiert, also das Gegenteil von dem was verlangt wird.

Comments

Top Antwort! Jetzt habe ich das verstanden. Vielen dank auch an dich. Ihr habt mir sehr geholfen. :))

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Mal meiner Neugierde halber: Magst Du sagen, im wievielten Schuljahr oder Studiensemester sowas heute drankommt?

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In meiner Vertiefung im Studium...

hatten wir allerdings bereits im Grundstudium, aber wir haben nur die Gewinnmaximierungen aufgestellt und über die Kostenminimierung nur kurz geredet...

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minimize z:    20*b + 10*s;

subject to c11:   b +  s   = 120;
subject to c12:   b        >=  50;
subject to c13:   3*b     >=  s;

var b >= 0;
var s >= 0;

Wobei die Aufgabe ungeschickt ist weil man die Antwort (möglichst wenig d.h. 50, teure Barkeeper-Stunden) direkt aus ihr ablesen kann, ohne zu optimieren.

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Vielen Dank.

Aber eine Frage stellt sich mir noch. Warum hast du die fixe Vergütung nicht mitberücksichtigt?

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Weil sie fix ist, und somit irrelevant.

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Nochmals vielen Dank