Alle Lösungen der Gleichung sinx = Wurzel(1-sin2x)

Question

Ich suche sämtliche Lösungen der Gleichung

sin x =  √(1-sin²x)

Durch erste Umformungen (erst beide Seiten quadrieren und dann die sinus zusammen auf eine Seite bringen) komme ich auf

2 sin²x = 1

Wie geht es dann weiter?

Answer 1

2 sin²x = 1

[ sin  ( x ) ´]² = 1 / 2
sin ( x ) = √ ( 0.5 )
x = arcsin ( √ ( 0.5 ) )
x = 0.7854 ( Bogenmaß )

mfg Gold-und_Silber-lieb-ich-sehr

Comments

Danke. Wie komme ich - ohne den Taschenrechner zu benutzen - am Ende auf

x₁=π/4 und x₂=3π/4
(jeweils +n*2π)

?

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Wenn du den TR nicht benutzen darfst, musst du wissen: sin(π/4)=1/√2. Die Diagonale im Einheitsquadrat bildet mit einer Seite den Winkel 45° und hat die Länge √2.

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Ohne Taschenrechner könnte ich keine
Lösung finden.
Eine Herleitung hat dir Roland  gezeigt.
sin ( π/4 ) =1 / √2 =  √ ( 1 / 2 )

Die Nullstellen der Grafik zeigen weitere
Lösungen.
Die Periodenlänge ist π.
Warum kann ich leider nicht herleiten.

Alle Lösungen : x = π/4 ± k* π / 2

Answer 2

2 sin²x = 1 Wie geht es dann weiter?

Dann teilen durch 2 und Wurzel ziehen sinx=±√(1/2). Jetzt mit shift sin (TR) weiter α=±45°. Weitere Lösungen ±(45°+kπ) für k∈ℕ.

Answer 3

$$sin(x)=\sqrt { 1-sin^2(x) }\\sin(x)=\sqrt { cos^2(x) }\\sin(x)=|cos(x)|\\\text{Fallunterscheidung :}\\x \in [0,2\pi]\\(i) cos(x)<0 bzw. \frac { \pi }{ 2 } < x < \frac { 3\pi }{ 2 } \\sin(x)=-cos(x)\\sin(x)+cos(x)=0\\\sqrt { 2 }sin(x+\frac { \pi }{ 4 })=0\\sin(x+\frac { \pi }{ 4 })=0\\x=\frac { 3\pi }{ 4 }\\(ii) cos(x)>=0 bzw. 0<=x<=\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { 3\pi }{ 2 }<= x <=2\pi\\sin(x)=cos(x)\\sin(x)-cos(x)=0\\-\sqrt { 2 }sin(-x+\frac { \pi }{ 4 })=0\\sin(-x+\frac { \pi }{ 4 })=0\\x=\frac { \pi }{ 4 }\\\text{Die restlichen Lösungen ergeben sich durch Addition von n*2pi zu den beiden bekannten Lösungen.}\\ \text{ Dein Ansatz ist auch möglich, du musst allerdings beachten,}\\\text{ dass Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist und somit auch Scheinlösungen entstehen können.}$$