Weitere affine Abbildungen Drehung. Matrix A ist eigentliche Orthogonalmatrix

Question

Die nr 26 in dem

Mit rechnung bitte ausf ührlich ;)

Comments

a) Berechne A² oder A*A^T und betrachte das Resultat

Das sollte genügen. Oder? (vgl. mit deinen Unterlagen)

---

Es wäre echt super hilfreich wenn du einen ausführlich zeigen könntest.

Den rest würde ich dann versuchen ;)

Vielen dank

Immai

---

Komme leider gerade nicht dazu. Würde aber erst mal die Theorie nachlesen.

---

Danke;)

Genau da dabei bin ich grad^^ gewesen.

---

Lu ist mein skript hier richtig?

https://www.mathelounge.de/415845/das-hier-ist-jetzt-nur-eine-skript…

Answer 1

(a) bei einer eigentlichen Orthogonalmatrix müssen die Spaltenvektoren senkrecht aufeinander stehen und das System muss rechtsdrehend sein. Die Spaltenvektoren und ihr Skalarprodukt ist

$$\begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} = -\sqrt{3} + \sqrt{3}=0$$

Das Skalarprodukt st null (also orthogonal) und die Determinante ist >0 also 'eigentlich' - heißt nicht spiegelnd.

(b) Jede eigentliche Orthogonalmatrix mit normierten Spaltenvektoren kann man schreiben als

$$\begin{pmatrix} \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{pmatrix}$$

hier ist $\cos \phi = \frac{1}{2} \sqrt{3}$ und $\sin \phi = \frac{1}{2}$ also ist $\phi = \frac{\pi}{6} = 30°$

(c) die Abbildung von $u$ und $v$ sind

$$^Au = Au+t= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -1 \\ 1 & \sqrt{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$$

$$^Av = Av+t= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & -1 \\ 1 & \sqrt{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{pmatrix}$$

Die roten Balken zeigen die (halben!) Einheitsvektoren von $\beta$ an

(d) hier ist nach dem Eigenvektor gefragt. Dazu schreibe ich die Abbildung $\beta$ mit homogenen Koordinaten und bestimme von der Matrix den Eigenvektor

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & -0,5 & 1\\ 0,5 & \frac{1}{2}\sqrt{3} & 0 \\ 0&0 &1 \end{pmatrix}$$

Die einzige reelle Lösung des charakterisctischen Polynoms ist $\lambda=1$. Daraus folgt dann der Eigenvektor

$$\approx \begin{pmatrix}0,5 \\ 1,866\\ 1 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow w\approx \begin{pmatrix}0,5 \\ 1,866 \end{pmatrix}$$

letzteren habe ich nur nummerisch gerechnet

Comments

Vielen Dank

War sehr hilfreich ;)

Mir würde jetzt noch sehr helfen wenn sie mir sagen könnten aus welchen satz. Ich das ganze auch entnehmen kann.

Der link zum skript schicke ich mit bei

https://www.mathelounge.de/415845/das-hier-ist-jetzt-nur-eine-skript…

---

Kannst du die bitte noch erklären, also deine rechnung? A und b und c habe ich verstanden jetzt

Kannst du mir bitte bei den anderen auch helfen, stecke in verzweiflung fest ;(

---

.. ich werde mich bemühen. Ist aber 'ne ganze Menge!

Gruß Werner

---

jede hilfe bringt mich ein stück näher raus aus der verzweiflung^^

das ist p27

https://www.mathelounge.de/415912/affine-abbildung-27-koordinatentra…

das ist h26

https://www.mathelounge.de/416083/h-26-affine-abbildung-diesmal-geht…

das ist h27

https://www.mathelounge.de/416086/h-27-affine-abbildungen-koordinate…

das ist aufgabe wo ich nur ein beispiel brauche den würde ich alleine hinbekommen. aufgabe 1

https://www.mathelounge.de/416097/aufgabe-abbildungen-reichen-eigenv…

die brauche ist erstmal bis freitag.

ich lerne grad auch die ganze zeit mache nichts anderes muss ja auch!

Jede Hilfe die ich bekomme bringt mich ein stück weiter.

würde also mich wirklich sehr stark retten ;)!

soviel wie du halt hinbekommst und natürlich lust hast.

ich gehe eh auch immer aufgabe für aufgabe durch.

Mache immer erst weiter wenn ich eine teilaufgabe verstanden habe.

also wenn wir die reihenfolfge eins nach dem anderen machen. würde das von der geschwindigkeit sehr gut passen.

würde mich freuen wenn wir heute min. die p27 hinbekommen

und h26^^

das würde zeitlich für heute reichen.

Wie gesagt mache eh immer erst weiter wenn ich das auch verstanden habe.

nur lösung würde mir auch nix bringen wird schreib ja bald klasur in 2 wochen

brauche das ganze aber bis freitag.

dnach kommen die anderen. dran.

Wie gesagt jede hilfe zählt für mich ^^

Vielen Vielen Dank

immai