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Wie untersuche ich diese Funktionen auf Stetigkeit?. könnte mir jemand erklärend einen Rechenweg zeigen?Bild Mathematik

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2 Antworten

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a) \(f\) ist genau dann stetig, wenn \( \lim_{x \to 1}\frac{|1-x|}{2x-2} = 0 \) ist.

b) \(g\) ist genau dann stetig, wenn \( \lim_{x\to -3}\frac{x^2-x+12}{x+3} = -7 \) ist.

von 77 k 🚀

zu a) 1. x∈ℝ\{1}:f ist Quotient von Funktionen die in x stetig sind (und 2x−2≠0), also ist f stetig in x.
2. x=1:f ist hier nicht stetig. Sei (xn) eine Folge in (−∞,1) mit limn→∞x_n=1, dann gilt:
f(x_n)=(1−x_n)/(2x_n−2)=(1−x_n)/(2(x_n−1)=−1/2 und somit limn→∞f(x_n)=−1/2≠f(1)=0. Damit kann f nicht stetig sein in 1.

Sieht gut aus.

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zu a.)
bereits der linksseitige Grenzwert von -1/2
stimmt nicht mit dem definierten Funktionswert
für x = 1 mit 0 überein. Die Funktion ist nicht stetig.

Bild Mathematik
Aufgabe b.) ist auch 0 / 0.
Es wurde einmal nach L´Hospital und einmal
nach Faktorisierung gerechnet.


von 2,5 k

danke für deine Antwort

ich versthe den  Schritt mit der Faktorisierung nicht. Wie bist du auf den Bruch gekommen?

In diesem Fall ist es am einfachsten man schaut
durch Polynomdivision nach ob der Nenner im Zähler
vorkommt.

x^2 - x - 12 : x + 3 =  = x  - 4
x^2 + 3x
----------
  -4x - 12
  -4x -12

( x -4 ) * ( x + 3 ) = x^2 - x - 12 : x + 3

Dann kann im faktorisierten Bruch gekürzt werden:

Hast du nur " x^2 - x - 12 " zu faktorisieren schau
im Internet unter " Satz des Vieta " nach.

mfg

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