funktionen auf stetigkeit untersuchen

Question

Wie untersuche ich diese Funktionen auf Stetigkeit?. könnte mir jemand erklärend einen Rechenweg zeigen?

Answer 1

a) \(f\) ist genau dann stetig, wenn \( \lim_{x \to 1}\frac{|1-x|}{2x-2} = 0 \) ist.

b) \(g\) ist genau dann stetig, wenn \( \lim_{x\to -3}\frac{x^2-x+12}{x+3} = -7 \) ist.

Comments

zu a) 1. x∈ℝ\{1}:f ist Quotient von Funktionen die in x stetig sind (und 2x−2≠0), also ist f stetig in x.
2. x=1:f ist hier nicht stetig. Sei (xn) eine Folge in (−∞,1) mit limn→∞x_n=1, dann gilt:
f(x_n)=(1−x_n)/(2x_n−2)=(1−x_n)/(2(x_n−1)=−1/2 und somit limn→∞f(x_n)=−1/2≠f(1)=0. Damit kann f nicht stetig sein in 1.

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Sieht gut aus.

Answer 2

zu a.)
bereits der linksseitige Grenzwert von -1/2
stimmt nicht mit dem definierten Funktionswert
für x = 1 mit 0 überein. Die Funktion ist nicht stetig.

Aufgabe b.) ist auch 0 / 0.
Es wurde einmal nach L´Hospital und einmal
nach Faktorisierung gerechnet.

Comments

danke für deine Antwort

ich versthe den  Schritt mit der Faktorisierung nicht. Wie bist du auf den Bruch gekommen?

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In diesem Fall ist es am einfachsten man schaut
durch Polynomdivision nach ob der Nenner im Zähler
vorkommt.

x^2 - x - 12 : x + 3 =  = x  - 4
x^2 + 3x
----------
  -4x - 12
  -4x -12

( x -4 ) * ( x + 3 ) = x^2 - x - 12 : x + 3

Dann kann im faktorisierten Bruch gekürzt werden:

Hast du nur " x^2 - x - 12 " zu faktorisieren schau
im Internet unter " Satz des Vieta " nach.

mfg