Berechnen Sie die Matrix A∆,∆

Question

Hi, kann mir jemand hierbei helfen?

Habe leider keine Idee, bin für jeden Hinweis dankbar.

Es sei V = M_n(R) mit der kanonischen Basis ∆ = {v₁ = ∆₁₁, v₂ = ∆₂₁, . . . , v_n = ∆_n1, v_n+1 = ∆₂₁, v_n+2 = ∆₂₂, . . . , v_2n = ∆_n2, v_2n+1 = ∆₃₁, . . . , v_n^2 = ∆_nn},

 Mit A ∈ M_n(R) sei L_A : M_n(R) → M_n(R) die Lineare Abbildung definiert durch L_A(M) = AM.

a) Zeigen Sie, dass LA linear ist.

b) Berechnen Sie die Matrix A∆,∆(L_A).

Comments

Was ist denn z.B  ∆_{21 ?}

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"eingeführt in Beispiel 3.2.6"

Answer 1

 a) Hier musst du nur zeigen  L_A(M+N) = L_A(M)+L_A(N)

und   L_A(x*M) =x * L_A(M)  für alle A,M,N aus M_n(R)

und x aus IR.

Das geht einfach nach den Rechenregeln für Matrizen etwa 

  L_A(x*M) =   A *(x*M) = x * (A*M)  =  x * L_A(M)   etc.

b) Hier brauchst du die Bilder der n² Basisvektoren und musst die wieder

mit der Basis  ∆ darstellen.

Wenn die Matrix A die Elemente a_i,j hat, dann ist ja

L(v_xn+y )  mit x aus {0,...,n-1} und , y aus {1,...,n}  eine Matrix, die

fast überall 0en hat nur in der  (x+1) - ten Spalte  genau die

Elemente von A hat.

Sie läßt sich also darstellen als 

a_1,x+1 * v_(x-1)*n+1 + a_2,x+1 * v_{(x-1)*n+2 + ..... +} a_n,x+1 * v_(x-1)*n+n 

Also hat stehen in der (xn+y)-ten Spalte von A∆,∆(L_A)  die Zahlen aus

der (x+1) - ten  Spalte von A.  Und der Rest in dieser Spalte

sind 0en, und zwar ober der genannten Elemente n*(x-1) Nullen, dann kommen die

Elemente   aus  der (x+1) - ten  Spalte von A und dann noch mal (n-x)*n 0en.

Also etwa bei n=3 könnte das so aussehen , wenn du hast A =

1  2   3
4  5   6
7  8   9

Dann ist    A∆,∆(L_A)  =

1   0    0   2    0   0   3   0  0  
4   0    0   5    0   0   6   0  0
7   0    0   8    0   0   9   0  0
0   1    0   0    2   0   0   3  0
0   4    0   0    5   0   0   6  0
0   7    0   0    8   0   0   9  0
0   0    1  0     0   2   0   0  3
0   0    4  0     0   5   0   0  6
0   0    7  0     0   8   0   0  9


Probe etwa für die 6. Spalte.

Also erst mal  L(v₆ ) = A*v₆


und es ist v6 = 


0    0    0
0    0    0
0    1    0

Also   A*v₆


0    3    0
0    6    0
0    9    0

also in der Tat

3*v4 + 6*v5 + 9*v6

Comments

 Und das obwohl die Nummerierung der Basisvektoren völlig unklar ist.

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Die ist doch zumindest beispielhaft angegeben.

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Aber kann denn gleichzeitig    v₂ = ∆₂₁   und    v_n+1 = ∆₂₁     sein?

Aus   v₁ = ∆₁₁, v₂ = ∆₂₁, . . . , v_n = ∆_n1    möchte man folgern, dass  v₃ = ∆₃₁   sein sollte, jedoch ist demgegenüber   v_2n+1 = ∆₃₁   angegeben.

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Aber kann denn gleichzeitig    v₂ = ∆₂₁   und    v_n+1 = ∆₂₁     sein?

Nein, hatte ich gar nicht so aufmerksam gelesen,

sollte sich   v_n+1 = ∆1_{2  sein.}