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Hi, kann mir jemand hierbei helfen?

Habe leider keine Idee, bin für jeden Hinweis dankbar.



Es sei V = Mn(R) mit der kanonischen Basis ∆ = {v1 = ∆11, v2 = ∆21, . . . , vn = ∆n1, vn+1 = ∆21, vn+2 = ∆22, . . . , v2n = ∆n2, v2n+1 = ∆31, . . . , vn^2 = ∆nn},

 Mit A ∈ Mn(R) sei LA : Mn(R) → Mn(R) die Lineare Abbildung definiert durch LA(M) = AM.

a) Zeigen Sie, dass LA linear ist.

b) Berechnen Sie die Matrix A∆,∆(LA).

von

Was ist denn z.B  ∆21 ?

"eingeführt in Beispiel 3.2.6"

Bild Mathematik

1 Antwort

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 a) Hier musst du nur zeigen  LA(M+N) = LA(M)+LA(N)

und   LA(x*M) =x * LA(M)  für alle A,M,N aus Mn(R)

und x aus IR.

Das geht einfach nach den Rechenregeln für Matrizen etwa 

  LA(x*M) =   A *(x*M) = x * (A*M)  =  x * LA(M)   etc.

b) Hier brauchst du die Bilder der n2 Basisvektoren und musst die wieder

mit der Basis  ∆ darstellen.

Wenn die Matrix A die Elemente ai,j hat, dann ist ja

L(vxn+y )  mit x aus {0,...,n-1} und , y aus {1,...,n}  eine Matrix, die

fast überall 0en hat nur in der  (x+1) - ten Spalte  genau die

Elemente von A hat.

Sie läßt sich also darstellen als 

a1,x+1 * v(x-1)*n+1 + a2,x+1 * v(x-1)*n+2 + ..... + an,x+1 * v(x-1)*n+n 

Also hat stehen in der (xn+y)-ten Spalte von A∆,∆(LA)  die Zahlen aus

der (x+1) - ten  Spalte von A.  Und der Rest in dieser Spalte

sind 0en, und zwar ober der genannten Elemente n*(x-1) Nullen, dann kommen die

Elemente   aus  der (x+1) - ten  Spalte von A und dann noch mal (n-x)*n 0en.

Also etwa bei n=3 könnte das so aussehen , wenn du hast A =

1  2   3
4  5   6
7  8   9

Dann ist    A∆,∆(LA)  =

1   0    0   2    0   0   3   0  0  
4   0    0   5    0   0   6   0  0
7   0    0   8    0   0   9   0  0
0   1    0   0    2   0   0   3  0
0   4    0   0    5   0   0   6  0
0   7    0   0    8   0   0   9  0
0   0    1  0     0   2   0   0  3
0   0    4  0     0   5   0   0  6
0   0    7  0     0   8   0   0  9


Probe etwa für die 6. Spalte.

Also erst mal  L(v6 ) = A*v6


und es ist v6 = 


0    0    0
0    0    0
0    1    0

Also   A*v6


0    3    0
0    6    0
0    9    0

also in der Tat

3*v4 + 6*v5 + 9*v6
von 229 k 🚀

 Und das obwohl die Nummerierung der Basisvektoren völlig unklar ist.

Die ist doch zumindest beispielhaft angegeben.

Aber kann denn gleichzeitig    v2 = ∆21   und    vn+1 = ∆21     sein ?

Aus   v1 = ∆11, v2 = ∆21, . . . , vn = ∆n1    möchte man folgern, dass  v3 = ∆31   sein sollte, jedoch ist demgegenüber   v2n+1 = ∆31   angegeben.

Aber kann denn gleichzeitig    v2 = ∆21   und    vn+1 = ∆21     sein ?

Nein, hatte ich gar nicht so aufmerksam gelesen,

sollte sich   vn+1 = ∆12  sein. 

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