Rekonstruktion einer Funktion 3. Grades - lösen von Gleichungssystemen

Question

ich benötige Hilfe für die folgende Steckbriefaufgabe (a). Normalerweise komme ich mit denen ganz gut zurecht, bei dieser jedoch bleibe ich irgendwie hängen... Lösungsansätze wären sehr willkommen :) :)

Comments

Geht es dir jetzt darum dein Gleichungssystem
manuell zu berechnen ?

Ansonsten kannst du auch einen Internetrechner
nutzen.

oder du wählst den Punkt
f ( 0 ) = 0  dann bekommst du d = 0

Berate gern noch weiter.

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Ja, es geht um die manuelle Berechnung (auch ohne Nullstellenform). Ich werde es einfach mit den Tips nochmal probieren!

Answer 1

Hi, es geht einfacher mit dem Ansatz$$f(x) = a \cdot x \cdot (x+3)^2$$und der Bedingung $$f(-1)=-4.$$

Comments

Danke für die Antwort, die Aufgabe soll aber leider mit dem anderen Ansatz gelöst werden :) Vorgabe von der Lehrkraft

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Ok, dein Ansatz ist richtig. Löse das Gleichungssystem. Du könntest noch eine der Bedingungen durch \(f(0)=0\) austauschen und eine weitere durch \(f''(-2)=0\). Das spart etwas Arbeit.

Answer 2

Manchmal ist es günstig nicht über ein lineares Gleichungssystem zu gehen sondern über die Nullstellenform wie bei a) und c) oder eine verschobene Form wie in b)

a)

f(x) = a·x·(x + 3)²

f(-1) = -4 --> a = 1

f(x) = x·(x + 3)²

b)

f(x) = a·(x - 1)³ - 2

f(3) = 0 --> a = 1/4

f(x) = 1/4·(x - 1)³ - 2

c)

f(x) = a·(x + 1)²·(x - 1)² = a·(x² - 1)²

f(0) = -1 --> a = -1

f(x) = -(x² - 1)²

Comments

Danke, aber wir sollen es nicht mit der Nullstellenform lösen :)

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Wer sagt das? Die Aufgabenstellung gibt diese deutung nicht her. Ansonsten:

Bedingungen

f(0) = 0

f(-1) = -4

f(-3) = 0

f'(-3) = 0

Gleichungen

d = 0

-a + b - c + d = -4

-27a + 9b - 3c + d = 0

27a - 6b + c = 0

Lösung

f(x) = x³ + 6·x² + 9·x

Wie du siehst ist das aber deutlich aufwendiger. Darum würde man es hier nicht machen. Und ich habe hier wesentliche Schritte zur Lösung des Gleichungssystems schon weggelassen.

Answer 3

Grün sind deine Zeilennummern

Bitte alles kontrollieren

Answer 4

Nullstellenform bei a) ist y = a (x-(-3))² * (x-0) = a(x+3)² * x

Grund: x= -3  ist Nullstelle mit gerader Vielfachheit (Berührung ohne Vorzeichenwechsel) und x=0 ist Nullstelle mit ungerader Vielfachheit (Vorzeichenwechsel).

Nun f(-1) = -4

-4 = a (-1 + 3)² * (-1) 

-4 = a * 4 * (-1)

1 = a

==> y = (x+3)² * x = (x² + 6x + 9)x = x³ + 6x² + 9x 

Vergleich mit y = ax³ + bx² + cx + d gibt

a=1, b=6, c=9, d=0