Zeigen Sie, dass e und f Basen von V und W sind

Question

Hi, kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?  Bin für jeden Hinweis dankbar.

für a) Muss ich auf lineare abh. prüfen, Aber wie sehen die VR V und W aus, damit ich prüfen kann ob diese durch e und f erzeugt werden?

Seien V und W R-Vektorräume. Seien v = {v₁, v₂, v₃, v₄} und w = {w₁, w₂} Basen von V und W.

Sei F : V → W die lineare Abbildung mit A_w,v(F) = $$ \begin{pmatrix}  1 & 3 & -2 & 1/2\\ 2 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix} $$  .

Für x = a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃+ a₄v₄ schreiben wir x = v(a₁, a₂, a₃, a₄). D.h. x ist der Vektor mit Koordinaten (a1, . . . , a4) bezüglich der Basis v. Seien

e = {e₁ = v(1, 1, 1, 2), e2 = v(2, −1, 3, 0), e3 = v( √ 2, 1, 0, 1), e4 = v(1, − 1 2 , 1, 5)}

f = {f1 = w(2, −3), f2 = w(−1, 3)}.

 a) Zeigen Sie, dass e und f Basen von V und W sind.

 b) Berechnen Sie A_f,e(F).

Answer 1

Genügt es bei a) je eine Matrix aus e bzw. f zu bilden und diese auf lin. unabh. zu prüfen?

Also:

1 1 1 2

2 -1 3 0

root(2) 1 0 1

1 -1/2 1 5

und

 2 -3

-1 3