Ungleichung √(1+x)<1+0,5x Für alle x>0 mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung beweisen

Question

Ungleichung mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung beweisen.

√(1+x)<1+0,5x Für alle x>0

Tipp: Betrachten sie die Funktion f(t)=√t auf dem Intervall ⌈1,1;x⌉

Ich kenne es bisher nur, dass die Funktion die ich verwende Teil der Ungleichung ist. Ich weiß nicht was ich mit der Funktion f(t) anfangen soll...

Comments

EDIT: Welcher Mittelwertsatz könnte es denn sein?

https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz

Welchen habt ihr schon behandelt?

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Entschuldigung, den der Differentialrechnung.

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EDIT: Habe die Fragestellung entsprechend ergänzt.

Answer 1

Betrachte $$|f(x)-f(y)|$$ Setze Intervallgrenzen ein:

$$=|\sqrt{1+x}-\sqrt1|$$ Nach dem MWS gibt es ein k aus dem Intervall s.d.:

$$=\frac{1}{2\sqrt k}|(1+x)-1|$$

Da k mindestens 1 sein kann, folgt:

$$\leq\frac{1}{2}x$$

Insgesamt haben wir:

$$\sqrt{1+x}-1\leq\frac{1}{2}x$$

+1 auf beiden Seiten addiert, folgt die Beh.