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Mahlzeit zusammen! Wäre sehr froh wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte, habe gar keine Ahnung wie ich an die Sache herangehen soll.

Vorgelegt sei die Funktion


f(x) = ln(−(x−2)(x + 3)).


Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D und den Wertebereich W von f. Untersuchen Sie f auf Monotonie und geben Sie die maximalen Teilintervalle von D an, auf denen f monoton ist.

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f(x) = LN(- (x - 2)·(x + 3))

Wenn du mal nur das Argument vom LN untersuchst

y = - (x - 2)·(x + 3)

Hier hat man eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen bei -3 und +2. Zwischen den Nullstellen hat man positive Funktionswerte. Daher (weil das Argument im LN nur positiv sein darf) ist die Definitionsmenge deiner Funktion.

D = ]-3 ; 2[

Für die Wertemenge bestimmt man das Maximum des Argumentes, welches sich zwischen den Nullstellen bei -0.5 befindet.

y = - (-0.5 - 2)·(-0.5 + 3) = 6.25

Das Der Wertebereich der Funktion ist also

W = ]-∞ ; LN(6.25)]

Das Argument ist im Intervall von ]-3 ; -0.5] streng monoton Wachsend und im Intervall [-0.5 ; 2[ streng monoton fallend. Weil der LN(x) streng monoton wachsend ist gilt die Monotie für das Argument genauso für die Funktion.

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f(x) = ln(- (x - 2)·(x + 3))          ist nur für positive Werte im ln definiert

Der Term   - (x - 2)·(x + 3)  steht für eine nach unten geöffnete Parabel, deren Funktionswerte genau zwischen den Nullstellen x1 = -3 und x2 = 2 positiv sind                       →  D = ] -3 ; 2 [

f '(x) = (2·x + 1) / ((x - 2)·(x + 3))

f '(x) = 0  ⇔D   2x+1 = 0   ⇔  x = -1/2  mit Vorzeichenwechsel von + → -

→   Maximum in H( -1/2 | 2 * ln(5/2) )  ≈  H( -1/2 | 1,83)

Die Monotonie wird durch das Vorzeichen von f '(x) bestimmt:

f '(x)  ≥  0  für x ∈ ] - ∞ ; -1/2 ]   →  f  streng monoton wachsend 

f '(x)  ≤  0  für x ∈ [ - 1/2 ; ∞ [    →  f  streng monoton fallend

limx→-3+ f(x) = limx→-3+ f(x)  = - ∞    →     Wertemenge    Wf = ] -∞ ; 2 * ln(5/2) [  

( ln(Term) → ∞ für Term → 0)

Bild Mathematik

Gruß Wolfgang

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