Integral "rückwärts" auf die Parabel-Gleichung kommen

Question

ich muss quasi das Integral rückwärts rechnen, aber wie mache ich das, dass ich auf die Parabel Gleichung komme?

Aufgabe:

Eine Parabel schneidet die x -Achse bei x= - 3 und bei x = - 1 und schließt mit der x -Achse ein Flächenstück mit der Maßzahl 8/3 ein. Wie lautet die Gleichung der Parabel?

Wäre euch zutiefst verbunden, wenn ihr helfen könntet die Aufgabe zu lösen mit einer Erklärung, damit ich es auch weiß wie es geht. :)

 

Answer 1

Parabelgleichung:   f(x) = a * (x+3) * (x+1)  ist die Nullstellenform der Parabel 

Fläche, die die Parabel mit der x-Achse einschließt:

A  = | _-3∫^-1  a * (x+3) * (x+1) dx | = | _-3∫^-1 a *(x² + 4·x + 3)  dx | 

     =   | a * [ x³/3 + 2·x² + 3·x ]_-3^-1 |  = | - 4/3 a |   = 8/3  ;  

a₁ = 2   ;  a₂ = - 2

f₁(x) = 2x² + 8x + 6   ;  f₂(x) = - 2x² - 8x - 6

Gruß Wolfgang

Comments

Erstmal

Aber eine Frage hätte ich noch, wie kommst du auf das a? 

Und wieso ist a einmal 2 / -2, ich dachte ein a kann nur einen Wert haben? Also entweder Plus oder Minus, aber beides? 

Danke. 

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Jede Parabel mit den Nullstellen x₁ und x₂ hat die Nullstellenform

f(x) = a * (x  - x₁) * (x- x₂)

Es gibt also jeweils unendlich viele solcher Parabeln.

Da die spezielle Parabel die Fläche mit dem Flächeninhalt  8/3  unter-  oder oberhalb der x-Achse einschließen  kann, gibt es zwei solche Parabeln.

Im ersten Fall ist a= 2, im zweiten Fall a = - 2  

Habe in die Antwort noch ein Bild eingefügt.

Answer 2

Eine Parabel, welche  die x -Achse bei x= - 3 und bei x = - 1 schneidet, hat deie Gleichung f(x)=a(x+3)(x+1).

Sie schließt mit der x -Achse ein Flächenstück mit der Maßzahl 8/3 ein, bedeutet ∫Grenzen von -3 bis -1.[a(x+3)(x+1).]dx=8/3.

Comments

Das Integral muss man schon mit dem Betrag ansetzen, weil die Parabel ober- oder unterhalb der x-Achse liegen kann. Es gibt also zwei Lösungen.

Answer 3

Eine Parabel schneidet die x -Achse bei x= - 3 und bei
x = - 1 und schließt mit der x -Achse ein Flächenstück
mit der Maßzahl 8/3 ein.
Wie lautet die Gleichung der Parabel?

Aufgrund der Angabe der Nullstellen lautet die
Parabelgleichung

f ( x ) = a * ( x + 1) * ( x + 3 )
f ( x ) = a * ( x^2 + 4 * x + 3 )

Stammfunktion
S ( x ) = a * ( x^3 / 3 + 4 * x^2 / 2 + 3 * x )

Die Fläche ist
[ S ( x ) ] _{- 3} ^-1  = - 4 / 3 * a

Die Fläche ist unterhalb der x-Achse und somit
negativ

Deshalb also

- 4 /3 * a = - 8 / 3

a = 2

mfg Georg

Comments

Hallo Georg,

a  kann auch negativ sein, es gibt also 2 solche Parabeln. 

Gruß Wolfgang

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Ich hatte deine Antwort bereits gesehen und mir war
mein Fehler auch aufgefallen.
Aber ich dachte : Wolfgang antwortet auf die
Nachfrage des Fragestellers ja noch.
Dann werde ich mir bei meiner Anwort
die Nachkorrektur sparen.

mfg Georg