Urbild von {0} unter der Abbildung mit A= (1,0,0; 3,1,0; 2,3,5)

Question

Was ist mit dem Urbild gemeint?

Bestimmen sie das Urbild von {0} unter der Abbildung Fa: R³->R³

Mit A= (1,0,0; 3,1,0; 2,3,5)

Und ist Fa injektiv?

Answer 1

Das Urbild einer Menge M unter einer Abbildung F, ist die Menge aller v, für die F(v) ∈ M ist.

Lineare Abbildungen sind genau dann injektiv, wenn {0} das Urbild von {0} ist.

Comments

Heißt es ich muss als ein lineares Gleichungssytem lösen mit der null wie bei der homogenen?

Ich verstehe die Antwort noch nicht ganz

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Ein homogenes lineares Gleichungssstem ist ein guter Ansatz.

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Ist es denn ungefähr so richtig?

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Wie schreibe ich die Lösungsmenge auf, als dim L(A,0)= (x1=0; x2=0; x3=0)?

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> Wie schreibe ich die Lösungsmenge auf

Dazu muss zunächst ein mal geklärt werden, was die Lösungsmenge ist.

Die Lösungsmenge ist eine Menge von Vektoren der Form $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$, für die $$\begin{pmatrix} 1&0&0\\3&1&0\\2&3&5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$ ist. Wie du gerade herausgefunden hast, muss dazu $x_1 = x_2 = x_3 = 0$ sein.

Die Lösungsmenge ist also die Menge aller Vektoren der Form $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$, für die $x_1 = x_2 = x_3 = 0$ ist. Aufgeschrieben werden kann das auf ganz unterschiedliche Arten. Hier nur einige:

• Die Lösungsmenge ist die Menge aller Vektoren der Form $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$, für die $x_1 = x_2 = x_3 = 0$ ist.
• Die Lösungsmenge besteht nur aus dem Nullvektor von $\mathbb{R}^3$.
• $\text{L}(A,\vec{0}) = \{\vec{x}\in\mathbb{R}^3 | \vec{x} = \vec{0}\}$
• $\text{L}(A,\vec{0}) = \{\vec{0}\} \subset \mathbb{R}^3$
• $\text{L}(A,\vec{0}) = \left\{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3 | x_1 = x_2 = x_3 = 0\right\}$
• $\text{L}(A,\vec{0}) = \left\{\vec{x}\in\mathbb{R}^3 | \vec{x} = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \wedge x_1 = 0 \wedge x_2 = 0 \wedge x_3 = 0\right\}$
• $\text{L}(A,\vec{0}) = \left\{\vec{x}\in\mathbb{R}^3 | \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\right\}$
• $\text{L}(A,\vec{0}) = \left\{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\right\}$
• $\text{L}(A,\vec{0}) = \bigcap_{U\leq \mathbb{R}^3}U$

> dim L(A,0)= (x1=0; x2=0; x3=0)

So nicht. Links vom Gleichheitszeichen steht eine Zahl (die Dimension ist eine Zahl). Links vom Gleichheitszeichen sollte eine Menge  stehen. Rechts vom Gleichheitszeichen steht ein Tupel aus Gleichungen. Rechts vom Gleichheitszeichen sollte eine Menge stehen.

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Okay Dankeschön, jetzt ist es klar!

Und F_A  ist injektiv, da die Spalten unabhängig sind oder?

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Folgende Aussagen über lineare Abbildungen F_A: V→W mit Abbildungsmatrix A sind äquivalent:

• F_A ist injektiv.
• Die Spalten von A sind linear unabhängig.
• Das Gleichungssystem A·x = 0 ist eindeutig lösbar.
• Kern F_A = {0}
• dim Bild F_A = dim V

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Kannst du mir vielleicht noch sagen, was mit subjektivität gemeint sein ist?

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Meinst du "Surjektivität"? "Subjektivität" ist ein Begriff aus der Philosophie; und davon habe ich nur eingeschränkt Ahnung.

Du solltest eigentlich eine Definition von "Surjektivität"  vor dir liegen haben. Wie lautet sie und welchen Teil davon hast du nicht verstanden?