Grenzwert berechnen Problem

Question

Ich soll den Grenzwer gegen 0 berechnen von (1-cos(x^1/4))/sqrt(x)

Nun kann ich ja die Rechenregel des Grenzwertes nicht benutzen um das aufzuteilen, weil lim sqrt(x)=0

Aber mir fällt leider sonst kein Weg ein diesen Grenzwert zu bestimmen

Comments

Also endweder erweiterst du den bruch oder l'hospital anwenden.

Kommst du damit erstmal weiter?

Answer 1

Das geht am besten nach der Regel von d'Hospital.

Es ist der Grenzwerttyp   0 / 0  .  Also bildest du vom

Zähler und Nenner je einzeln die Ableitung und hast

(  sin(x^1/4)  /  (4*x^3/4)   )    /  (   1 /  ( 2 * x^1/2)   )



= (  2  *   sin(x^1/4)  )  /    (4*x^1/4)  

und  sin(x) / x  geht ja gegen 1 ( kannst du auch mit  d'Hospital.

nochmal zeigen ) , also gesamter Grenzwert   2/4   =   1/2 

Answer 2

(1-cos(x^1/4))/sqrt(x) = 0 / 0

bei 2 maligem anwenden von L´Hospital

ergibt sich als Grenzwert 0.5

Die Rechnung zu Fuß ist aber sehr aufwendig.

mfg Georg

Answer 3

$$ \frac { 1-cos({ x }^{ 1/4 }) }{ \sqrt { x} };{ x }^{ 1/4 }=z\\=\frac { 1-cos(z) }{z^2 }=\frac { 2sin^2(z/2) }{ z^2 };z/2=k\\=\frac { 1 }{ 2 }\frac { sin^2(k) }{ k^2 }\to \frac { 1 }{ 2 }\\\text{für k  gegen 0} $$