Hallo hixna,
ich schreibe Vektoren \(\vec{x}\) in Zeilenschreibweise [x1, x2, x3] und AB usw. ohne Pfeil.
Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) von Ebene ABC = e :
AB = [-1, -3, 4] - [-1, 3, -2] = [0, -6, 6] = 6 * [0, -1, 1] → \(\vec{u}\) = [0, -1, 1]
AC = [7, -5, 2] - [-1, 3, -2] = [8, -8, 4] = 4 * [2, -2, 1] → \(\vec{v}\) = [2, -2, 1]
Normalenvektor von e: \(\vec{n}\) = \(\vec{u}\) x \(\vec{v}\)
\(\vec{n}\) = [0, -1, 1] x [2, -2, 1] = [1, 2, 2]
Normalenform von e:
[1, 2, 2] * \(\vec{x}\) - [1, 2, 2] * [-1, 3, -2] = 0 ⇔ [1, 2, 2] * \(\vec{x}\) - 1 = 0
Lotgerade g durch S senkrecht zu e:
g: \(\vec{x}\) = [5, 3, 4] + r * [1, 2, 2]
Der gesuchte Höhenfußpunkt H ist der Schnittpunkt H von g und e.
g in e einsetzen:
[1, 2, 2] * ([5, 3, 4] + rs * [1, 2, 2]) - 1 = 0
Ausrechnen und Zusammenfassen → rs = -2
rs in g einsetzen → \(\vec{x_s}\) = [5, 3, 4] + (-2) * [1, 2, 2] = [3, -1, 0] → H(3|-1|0)
Pyramidenhöhe = | HS | = | [5, 3, 4] - [3, -1, 0] | = | [2, 4, 4] | = √(22 + 42 + 42) = 6
Gruß Wolfgang
(Die Rechnerei ist ziemlich lästig, keine Garantie bzgl. möglicher Rechenfehler. Also bitte nachrechnen und RF ggf. in einem Kommentar anmerken.)
