e Funktion lösen mit der Substitution

Question

in der Abivorbereitung brauch ich eure Hilfe:

$${ e }^{ -0,01t }-{ e }^{ -t }=0,7$$ 

Die Gleichung soll gelöst werden. Wie wendet man das mit der Substituion hier an?

So richtig geübt haben wir das früher nicht gemacht und nur an einfacheren Beispielen :(

Ich hoffe jemand kann das mal kurz erklären

Vielen lieben Dank und einen schönen Abend!

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Kannst du etwas mehr zu der Gleichung und ihrer Herkunft sagen? So, wie sie da steht, würde ich vorschlagen, zur Lösung den GTR zu bemühen.

Answer 1

man könnte hier $z=e^{-0,01t}$ substituieren. Dann erhält man

$$z - z^{100} = 0,7$$

anschließend geht es aber IMHO nur mit nummerischen Verfahren weiter. Ein Wert wird dicht bei $0,7$ liegen, da $0,7^{100}$ im Rauschen untergehen wird. Ein zweiter Wert liegt in der Nähe von 1, derart, dass ${z_2}^{100}\approx 0,3$ ist - also $z_2\approx 0,3^{0,01} \approx 0,988$. Das Newtonverfahren liefert beginnend mit 1 nach vier Iterationen den Wert $z_2\approx0,9876$.

Demnach ist

$$t_1=\frac{1}{-0,01}\ln{z_1}\approx\frac{1}{-0,01}\ln{0,7} \approx 35,6675$$

$$t_2= \frac{1}{-0,01}\ln{z_2}\approx \frac{1}{-0,01}\ln{0,9876} \approx 1,246$$

weitere Lösungen im Reellen sind nicht in Sicht.

Plotlux öffnen

f₁(x) = x-x¹⁰⁰-0,7Zoom: x(-0,8…1,2) y(-2…2)

Gruß Werner

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Danke für die Mühe !!!