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in der Abivorbereitung brauch ich eure Hilfe:


$$ { e }^{ -0,01t }-{ e }^{ -t }=0,7 $$ 

Die Gleichung soll gelöst werden. Wie wendet man das mit der Substituion hier an?

So richtig geübt haben wir das früher nicht gemacht und nur an einfacheren Beispielen :(


Ich hoffe jemand kann das mal kurz erklären

Vielen lieben Dank und einen schönen Abend!

von

Kannst du etwas mehr zu der Gleichung und ihrer Herkunft sagen? So, wie sie da steht, würde ich vorschlagen, zur Lösung den GTR zu bemühen.

1 Antwort

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man könnte hier \(z=e^{-0,01t}\) substituieren. Dann erhält man

$$z - z^{100} = 0,7$$

anschließend geht es aber IMHO nur mit nummerischen Verfahren weiter. Ein Wert wird dicht bei \(0,7\) liegen, da \(0,7^{100}\) im Rauschen untergehen wird. Ein zweiter Wert liegt in der Nähe von 1, derart, dass \({z_2}^{100}\approx 0,3\) ist - also \(z_2\approx 0,3^{0,01} \approx 0,988\). Das Newtonverfahren liefert beginnend mit 1 nach vier Iterationen den Wert \(z_2\approx0,9876\).

Demnach ist

$$t_1=\frac{1}{-0,01}\ln{z_1}\approx\frac{1}{-0,01}\ln{0,7} \approx 35,6675$$

$$t_2= \frac{1}{-0,01}\ln{z_2}\approx \frac{1}{-0,01}\ln{0,9876} \approx 1,246$$

weitere Lösungen im Reellen sind nicht in Sicht.

~plot~ x-x^{100}-0,7;[[-0,8|1,2|-2|2]] ~plot~

Gruß Werner

von 37 k

Danke für die Mühe !!!

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