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Hey ich verstehe den Satz über implizite Polynome so, dass wenn f(x0,y0)=0 und δf/δy(xo,yo)≠0 ist, man eine implizite Funktion, in unserem Beispiel, eindeutig nach y auflösen kann.

Aber das ist ja falsch:

f(x,y)=x^2-y^2+1  ist nicht eindeutig nach y auflösbar.

aber für x=1 y=√2 ist die Funktion = 0 und die Ableitung nach y ungleich 0.

Wo ist mein Verständnisfehler der Definition?

von

2 Antworten

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Eine eindeutige Aufloesung \(y=g(x)\) wird nur in einer Umgebung $$U=[x_0-\delta,x_0+\delta]\times[y_0-\epsilon,y_0+\epsilon]$$ garantiert.

Das bedeutet

\(f(x,g(x))=0\) für alle \(x\in[x_0-\delta,x_0+\delta]\)

und

\(f(x,y)\ne0\) für alle \((x,y)\in U\) mit \(y\ne g(x)\).

von

Danke!

Aber wenn ich zb für x,y e R^2 es beweisen kann, dann gilt es doch für alle x,y in R^2 oder?

Dann gäbe es keine Umgebung?

Was willst Du für alle x,y e R2 beweisen koennen? Was ist es?

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Sprichst du hiervon ?

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten_Funktion#Begriffsbestimmung

"man eine implizite Funktion, in unserem Beispiel, eindeutig nach y auflösen kann."

Ob man nach y auflösen kann, ist nicht sicher und auch nicht wichtig. Es wird nur gesagt, dass implizit  eine Funktion definiert ist. Es gibt viele Funktionen, die sich nicht mit den gewohnten Rechenoperationen + - * √ usw. als y= ... schreiben lassen. Ausserdem gibt es Funktionen, die implizit einfacher zu beschreiben sind als explizit. 

implizit heisst hier so was wie "versteckt in dieser Gleichung F(x,y) = 0 " und nicht explizit als y = ....

Bei der expliziten Definition einer Funktion ist auf einen Blick ersichtlich, dass es sich um eine Funktion handelt (jedem x wird eindeutig ein y zugeordnet).

Bei implizit definierten Funktionen sind Wertebereich und Bildbereich meist oft lokal (in einer gewissen Umgebung von einem Punkt) so wählbar, dass man wirklich von Funktionen sprechen kann. 

von 7,6 k

Jeah das wusste ich auch, aber der Satz über implizite Funktionen sagt aus, wann man eine implizite Funktion eindeutig nach einer variablen umformen kann.

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten_Funktion#Begriffsbestimmung

Bild Mathematik

Wo siehst du das? Hier steht doch eigentlich nur, dass es y = f(x) gibt. Nicht, dass man F(x,y)= 0 nach y auflösen kann.- Selbst wenn das gelegentlich der Fall ist.

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