0 Daumen
660 Aufrufe

"Über den Verlauf einer Krankheit weiß man, dass sie nach zögerndem Anfang am 5.Tag 1,25% der Bevölkerung erfasst hat und am 15.Tag völlig abgeklungen ist. Zur Darstellung des Krankheitsverlaufs wird eine ganzrationale Funktion 3.Grades angesetzt, deren Graph wegen des zögernden Anfangs im Nullpunkt die Steigung 0 besitzt.

a) Ermittle die Funktionsgleichung! Welche Definitionmenge ist sinnvoll?

b) Wann erreicht die Krankheit ihren Höhepunkt?Wie viel Prozent der Bevölkerung sind dann erkrankt?

c) An welchem Tag nimmt der Prozentsatz der Erkrankten am stärksten zu?

von

2 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Sinnvoll ist es, die Definitionsmenge auf die 15Tage des Krankheitsverlaufs zu setzen. Sei \(x\) die Anzahl der Tage nach Ausbruch der Krankheit, so ist \(D=\{x| 0 \le x \le 15\}\). Setzt man nun für den Prozentsatz der Bevölkerung \(k(x)\), der von der Krankheit erfasst wurde, eine ganzrationale Funktion 3.Ordnung an

$$k(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1 x+a_0$$

dann benötigt man vier Informationen für die vier Koeffizienten \(a_i\) um den Verlauf zu berechnen, als da sind: am nullten und letzten Tag ist keiner krank \(k(0)=0\) und \(k(15)=0\), am 5.Tag sind 1,25% erkrankt \(k(5)=1,25\) und die Steigung am 0'ten Tag ist 0 \(k'(x)=0\). Das sind vier Bedingungen aus denen sich die vier \(a_i\) berechnen lassen.

In diesem besonderen Fall sind aber alle Nullstellen der Funktion gegeben. Nämlich \(x0_{1,2}=0\) und \(x0_3=15\), da bei \(x=0\) auf Grund der Bedingung \(k'(0)=0\) eine doppelte Nullstelle vorliegen muss. Folglich ist

$$k(x)=a_3 \cdot x^2 \cdot (x-15)$$

aus \(k(5)=1,25\) folgt dann \(a_3=-0,005\). Die weiteren Koeffizienten ergeben sich dann nach aus-multiplizieren der obigen Gleichung

$$k(x)=-0,005 x^3 + 0,075 x^2$$


zu b) Die Krankheit erreicht ihren Höhepunkt wenn \(k'=0\) ist aber \(x \ne 0\)

$$k \prime(x)=-0,015 x^2 + 0,15 x=0 \quad \Rightarrow x_H=10$$

also am 10. Tag sind \(k(x_H)=2,5\) Prozent der Bevölkerung erfasst, wie auch der Funktionsverlauf zeigt

~plot~ -0.005x^3+0.075x^2;{5|1.25};{10|2.5};[[0.5|17|-0.5|4]] ~plot~


zu c) der Krankheitsverlauf nimmt am stärksten zu, wenn die Steigung maximal ist, dazu muss die zweite Ableitung 0 werden

$$k \prime \prime(x)=-0,03 x + 0,15=0 \quad \Rightarrow x_Z=5$$

das ist am 5.Tag der Fall.

Gruß Werner

von 37 k

Danke für diese sehr Ausführliche Antwort!

0 Daumen
f(x)= ax^3+bx^2+cx+d

f(0)=0

f '(0) =0

f(5)= 1,25

f(15) =0

b)

f '(x) = 0

c) f ''(x) = 0
von 64 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community