Wie heißen diese Zahlen? III Extremwertaufgabe

Question

Aufgabe:

Die Summe zweier natürlicher Zahlen deren Produkt 100 ist, soll so klein wie möglich sein. Wie heißen diese Zahlen?

Problem/Ansatz:

x * y = 100

x+y → min

wie muss ich bei dieser Aufgabe vorgehen. Ich komm auf ein lokales Minimum von 50. Denke aber das es falsch ist.

Mit freundlichen Grüßen Zahni

Answer 1

x * y = 100    ==>   y= 100/x

==>  x+y = x+ 100/x = f(x)

f ' (x) =  1 - 100/x^2

f ' (x) = 0   ==>   100/x^2 = 1  ==>  x=10 (Da nat. Zahl.)

Also ist für 10 die Summe mit Wert 20 am kleinsten.

( evtl. mit f '' begründen)

Zum Vergleich etwa x=5 , da wäre y=20 und die Summe 25,

also größer.

Comments

Wie bilden Sie die Ableitung ?

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Quotientenregel oder aus 100/x kannst du 100*x^(-1) machen .

Answer 2

Zerlege doch zunächst mal 100 in 2 Faktoren (natürliche Zahlen)

100 = 1 * 100
100 = 2 * 50
100 = 4 * 25
100 = 5 * 20
100 = 10 * 10

Mehr gibt es nicht ausser die Symmetrischen Lösungen wie 20 * 5.

Bei welchem Faktorenpaar wird jetzt die Summe am kleinsten

1 + 100 = 101
2 + 50 = 52
4 + 25 = 29
5 + 20 = 25
10 + 10 = 20

So jetzt kennst du bereits die Lösung.

Genau so geht man rechnerisch vor

Wir stellen allgemein 100 als Produkt zweier Werte dar, wobei ein Wert x ist.
100 = x * y = x * 100/x

Wir bilden die Summe

S = x + 100/x

Wenn das Extremal werden muss sollte die Ableitung null werden

S' = 1 - 100/x² = 0 --> x = 10 (die -10 entfällt da es keine natürliche Zahl ist)

Also haben wir

100 = 10 * 100/10 = 10 * 10

Das dies die kleinste Summe gab, wussten wir bereits.