Eine Gleichung für eine Parabel kannst du in folgenden Formen schreiben:
f(x) = ax² + bx + c = y (Allgemeinform)
f(x) = a*(x – v)² + n = y (Scheitelpunktform)
f(x) = a*(x – x1)*(x – x2) = y (in Linearfaktoren)
Siehe Videos der Lektion Quadratische Funktionen!
Die Koordinaten des Scheitelpunktes S(2|4) können wir der Scheitelpunktform zuordnen:
f(x) = a*(x – v)² + n
f(x) = a*(x – 2)² + 4
Jetzt können wir in diese Gleichung den Punkt C(6|0) einsetzen:
f(x) = a*(x – 2)² + 4 = y
f(6) = a*(6 – 2)² + 4 = 0
Und die Gleichung ausrechnen, um a zu ermitteln:
a*(6 – 2)² + 4 = 0
a*4² + 4 = 0
a*16 + 4 = 0 |-4
a*16 = -4 |:16
a = -4/16
a = -1/4
So wissen wir, dass a = -1/4 sein muss (der Formfaktor der Parabel, also ist sie nach unten gestreckt).
a noch einsetzen in die Funktionsgleichung:
f(x) = a*(x – 2)² + 4
f(x) = -1/4*(x – 2)² + 4
Fertig :)
Natürlich kannst du die ermittelte Funktionsgleichung noch ausmultiplizieren zur Allgemeinform:
f(x) = -1/4*(x – 2)² + 4
f(x) = -1/4*(x² – 2*2x + 4) + 4
f(x) = -1/4*x² + 1/4*4x -1/4*4 + 4
f(x) = -1/4*x² + 1x -1 + 4
f(x) = -1/4*x² + x + 3
Der Funktionsgraph sieht wie folgt aus:
Video zur Scheitelpunktform:
Teil 2 von 7 aus der Lektion Quadratische Funktionen