Integration: x*√(1+x^2).

Question

könnt ihr mir genau erklären, wie man auf die Aufleitung von: x*√(1+x²) kommt?

Danke.

Comments

es gibt keine "Aufleitung". Benutze die Fachbegriffe richtig!

Grüße,

M.B.

Answer 1

Sorge dafür, dass du die innere Ableitung außerhalb siehst. Dann wende die Umkehrung der Kettenregel an.

y = x * √(1 + x^2) = 1/2 * 2x * (1 + x^2)^{1/2}

Y = 1/2 * 2/3 * (1 + x^2)^{3/2} = 1/3 * (1 + x^2)^{3/2}

Answer 2

$$f(x)=x\cdot \sqrt{1+x^2}$$ Um die Ableitung zu berechnen benutzen wir die Produktregel: $$f'(x)=\left(x\cdot \sqrt{1+x^2}\right)'=(x)'\cdot \sqrt{1+x^2}+x\cdot (\sqrt{1+x^2})'=\sqrt{1+x^2}+x\cdot (\sqrt{1+x^2})'$$

da es (x)'=1 gilt. Um die Ableitung von √1+x²  zu berechnen benutzen wir die Kettenregel: $$(\sqrt{1+x^2})'=\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot (1+x^2)'=\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$

Wir bekommen also $$f'(x)=\sqrt{1+x^2}+x\cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sqrt{1+x^2}+\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}$$ Wir können das auch folgenderweise vereinfachen: $$f'(x)=\sqrt{1+x^2}+\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{(\sqrt{1+x^2})^2+x^2}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1+x^2+x^2}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}$$

Comments

Hallo Marianthi,

unter "Aufleitung" verstehen die Fragesteller das Gegenteil der Ableitung, also die Stammfunktionen.

Gruß Wolfgang

---

Achso, sorry. Habe es anscheinend verlesen. Danke für den Tipp!!

Wir machen also folgendes:

Wir substituieren u = x²+1. Dann haben wir $$du=2xdx \Rightarrow \frac{1}{2}du=xdx$$ Wir bekommen also folgendes:

$$\int x\sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int\sqrt{u}du \\ =\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}du \\ =\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} \\ =\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \\ =\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \\ =\frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}+c$$ Jetzt wenden wir die Rücksubstitution von u = x²+1 an und bekommen: $$\int x\cdot \sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}+c$$

Answer 3

 f(x) =x*√(1+x²) 

Die innere Ableitung steht beinahe als Faktor vor der Wurzel. 

Substitution mit u(x) = 1+x^2

du/dx = 2x

du/2 = x*dx

F(x) = ∫ (√(1+x²))*x dx

= ∫ √(u) * du/2 

=1/2  ∫ u^{1/2} du

= 1/2 * u^{3/2} * (2/3) + C

= 1/3 * u*u^{1/2} + C

= 1/3 * (1+x^2)*√(1+x^2) + C 

Answer 4

könnt ihr mir genau erklären, wie man auf
die Aufleitung von: x*√(1+x²) kommt?

ich probiere
√(1+x²)
( 1 + x^2 ) ^{1/2}
kann nur von hoch ( 3/2 ) kommen
( 1 + x^2 ) ^{3/2}
ableiten
[ ( 1 + x^2 ) ^{3/2} ] ´
3/2 * ( 1 + x^2 ) ^{1/2} * ( 2 * x)
3 * x *  ( 1 + x^2 ) ^{1/2}
Dann sind wir auch schon fast bei
x * ( 1 + x^2 ) ^{1/2}

Vorfaktor 1/3 einfügen
1/3 * ( 3 * x *  ( 1 + x^2 ) ^{1/2} )

∫ x * √(1+x²) dx =  1/3 * ( 1 + x^2 ) ^{3/2}

Comments

Eine Substituion, so wie Lu sie vorgeführt hat,
ist eleganter und mit weniger Arbeit verbunden