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Gegeben sind:

Zimmervermietung an Reiseveranstalter ermittelte Preisfunktion p(x)=-0,5x+50. Entstehende Kosten werden durch Funktion K(x)=15x+30 dargestellt.

1. Erlösfunktion ermitteln

2. Anzahl der Zimmer ermitteln, bei deren Vermietung der Erlös maximal wird. Wie hoch ist der Erlös?

3. Gewinnfunktion ermitteln

4. Gewinnschwelle und - grenze berechnen

5. welche Anzahl Zimmer muss man anbieten, um den maximalen Gewinn zu erzielen.

6. Wie hoch ist in diesem Fall der Zimmerpreis

7. Welche Veränderung tritt hinsichtlich des maximal zu erzielenden Gewinns ein, wenn es dem Hotel gelingt, die Kosten pro Zimmer um 5 € zu senken.

Vielen lieben Dank!

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Zimmervermietung an Reiseveranstalter ermittelte Preisfunktion p(x) = 50 - 0.5·x. Entstehende Kosten werden durch Funktion K(x) = 15·x + 30 dargestellt.

a) Erlösfunktion ermitteln.

E(x) = x·p(x) = 50·x - 0.5·x^2

b) Anzahl der Zimmer ermitteln, bei deren Vermietung der Erlös maximal wird. Wie hoch ist der Erlös?

E'(x) = 50 - x = 0 --> x = 50 Zimmer

E(50) = 1250 GE

c) Gewinnfunktion ermitteln.

G(x) = E(x) - K(x) = -0.5·x^2 + 35·x - 30

d) Gewinnschwelle und - grenze berechnen.

G(x) = -0.5·x^2 + 35·x - 30 = 0 --> x = 0.9 Zimmer ∨ x = 69.1 Zimmer

e) welche Anzahl Zimmer muss man anbieten, um den maximalen Gewinn zu erzielen.

G'(x) = 35 - x = 0 --> x = 35 Zimmer

f) Wie hoch ist in diesem Fall der Zimmerpreis.

p(35) = 32.5 GE

g) Welche Veränderung tritt hinsichtlich des maximal zu erzielenden Gewinns ein, wenn es dem Hotel gelingt, die Kosten pro Zimmer um 5 € zu senken.

G(35) = 582.5 GE

Dann wäre Kneu(x) = 10·x + 30 und die Gewinnfunktion Gneu(x) = -0.5·x^2 + 40·x - 30

Gneu'(x) = 40 - x = 0 --> x = 40 Zimmer

Gneu(40) = 770 GE


Der Gewinn könnte damit um 770 - 582.5 = 187.5 GE gesteigert werden.

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