Zimmervermietung an Reiseveranstalter ermittelte Preisfunktion p(x) = 50 - 0.5·x. Entstehende Kosten werden durch Funktion K(x) = 15·x + 30 dargestellt.
a) Erlösfunktion ermitteln.
E(x) = x·p(x) = 50·x - 0.5·x^2
b) Anzahl der Zimmer ermitteln, bei deren Vermietung der Erlös maximal wird. Wie hoch ist der Erlös?
E'(x) = 50 - x = 0 --> x = 50 Zimmer
E(50) = 1250 GE
c) Gewinnfunktion ermitteln.
G(x) = E(x) - K(x) = -0.5·x^2 + 35·x - 30
d) Gewinnschwelle und - grenze berechnen.
G(x) = -0.5·x^2 + 35·x - 30 = 0 --> x = 0.9 Zimmer ∨ x = 69.1 Zimmer
e) welche Anzahl Zimmer muss man anbieten, um den maximalen Gewinn zu erzielen.
G'(x) = 35 - x = 0 --> x = 35 Zimmer
f) Wie hoch ist in diesem Fall der Zimmerpreis.
p(35) = 32.5 GE
g) Welche Veränderung tritt hinsichtlich des maximal zu erzielenden Gewinns ein, wenn es dem Hotel gelingt, die Kosten pro Zimmer um 5 € zu senken.
G(35) = 582.5 GE
Dann wäre Kneu(x) = 10·x + 30 und die Gewinnfunktion Gneu(x) = -0.5·x^2 + 40·x - 30
Gneu'(x) = 40 - x = 0 --> x = 40 Zimmer
Gneu(40) = 770 GE
Der Gewinn könnte damit um 770 - 582.5 = 187.5 GE gesteigert werden.
