Folgende Aufgabe ist gegeben:
\( \sqrt{x+19}-\sqrt{x-5}=\sqrt{x+6}-\sqrt{x-14} \)
Ich habe die Aufgabe dreimal auf unterschiedliche Weise gerechnet. Ein Beispiel:
\( \sqrt{x+19}-\sqrt{x-5}=\sqrt{x+6}-\sqrt{x-14} \)
Hoch 2:
\( x+19-2 \sqrt{(x+19)(x-5)}+x-5=x+6-2 \sqrt{(x+6)(x-14)}+x-14 \)
\( 2 x+14-2 \sqrt{(x+19)(x-5)}=2 x-8-2 \sqrt{(x+6)(x-14)} \)
Rechte Wurzel isoliert (-2x+8):
\( 22-2 \sqrt{(x+19)(x-5)}=-2 \sqrt{(x+6)(x-14)} \)
Geteilt durch -2:
\( \sqrt{(x+19)(x-5)}-11=\sqrt{(x+6)(x-14)} \)
Hoch 2:
\( (x+19)(x-5)-22 \sqrt{(x+19)(x-5)}+121=(x+6)(x-14) \)
Klammern auflösen:
\( x^{2}+14 x+26-22 \sqrt{(x+19)(x-5)}=x^{2}-8 x-84 \)
Wurzel isolieren (-x2-14x-26):
\( -22 \sqrt{(x+19)(x-5)}=-22 x-110 \)
Geteilt durch -22:
\( \sqrt{(x+19)(x-5)}=x+5 \)
Hoch 2:
\( (x+19)(x-5)=x^{2}+10 x+25 \)
\( x^{2}+14 x-95=x^{2}+10 x+25 \)
Rechte Seite von linker abziehen (-x2-10x-25):
\( 4 x-120=0 \)
\( 4 x=120 \)
\( x=30 \)
Laut Dozent ist die Lösung x = -12. Habe ich hier einen grundlegenden Denkfehler oder ist meine Lösung richtig?
