Partielle Integration (Sin3*x dx)

Question

Sin^3x dx Davon muss ich die Stammfunktion bilden, jedoch hat sin doch auch ein x oder?

Comments

Ja, ohne x im Sinus macht es keinen Sinn.

 Heißt die Funktion sin³(x)*x oder sin³ (x)? Schau bitte nochmal in der Originalaufgabenstellung nach.

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Sin³*x dx. Ich muss hier eine Stammfunktion bilden und habe keine Ahnung wie, weil da ja ein X fehlt.

(Falls jemand wieder fragt: Es ist kein Fehler in der Aufgabenstellung!)

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Sin³*x dx

ist mathematisch unsinnig.

Es muß heißen ( ist dasselbe )

[ sin ( x ) ] ³

oder

sin³ ( x )

oder

sin ( x ) * sin ( x ) * sin ( x )

Answer 1

∫ SIN(x)³ dx = ∫ SIN(x)·SIN(x)² dx

∫ SIN(x)³ dx = -COS(x)·SIN(x)² - ∫ -COS(x)·2·SIN(x)·COS(x) dx

∫ SIN(x)³ dx = -SIN(x)²·COS(x) + ∫ 2·SIN(x)·COS(x)² dx

Wir kümmern uns zunächst um das neu entstandene Integral

∫ 2·SIN(x)·COS(x)² dx = 2·(-COS(x))·COS(x)² - ∫ 2·(-COS(x))·2·COS(x)·(-SIN(x)) dx

∫ 2·SIN(x)·COS(x)² dx = -2·COS(x)³ - ∫ 4·SIN(x)·COS(x)² dx

∫ 2·SIN(x)·COS(x)² dx = -2·COS(x)³ - 2·∫ 2·SIN(x)·COS(x)² dx

3·∫ 2·SIN(x)·COS(x)² dx = -2·COS(x)³

∫ 2·SIN(x)·COS(x)² dx = -2/3·COS(x)³

Jetzt betrachten wir erneut das Ausgangsintegral

∫ SIN(x)³ dx = -SIN(x)²·COS(x) + ∫ 2·SIN(x)·COS(x)² dx

∫ SIN(x)³ dx = -SIN(x)²·COS(x) - 2/3·COS(x)³

∫ SIN(x)³ dx = -COS(x)·(SIN(x)² + 2/3·COS(x)²)

∫ SIN(x)³ dx = -COS(x)·(1/3·SIN(x)² + 2/3·SIN(x)² + 2/3·COS(x)²)

∫ SIN(x)³ dx = -COS(x)·(1/3·SIN(x)² + 2/3·(SIN(x)² + COS(x)²))

∫ SIN(x)³ dx = -COS(x)·(1/3·SIN(x)² + 2/3)

∫ SIN(x)³ dx = -1/3·COS(x)·(SIN(x)² + 2)

Answer 2

ohne partielle Integration;

f(x)=sin³(x)=sin(x)(1-cos²(x))=sin(x)-sin(x)*COS²(x)

F(x)=-COS(x)+1/3cos³(x)