Question

Bestimmen Sie die Dimension des Bildes folgender linearen Abbildung: f : R³ → R⁴ , (x, y, z) → (x+y, y −x, 0, 2x−3y).  Begründen Sie Ihre Antwort kurz.

Mein Lösungsvorschlag: 




Ist diese Lösung richtig und kann man das so machen?

Answer 1

Hallo certi,

deine Überlegungen sind gut, man kann das einfacher hinschreiben: 

 Bild(f)  = { $\begin{pmatrix} x+y \\ -x + y \\ 0 \\ 2x-3y \end{pmatrix}$ | x,y ∈ ℝ }

 =  { x * $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0\\2 \end{pmatrix}$ + y * $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\-3 \end{pmatrix}$  | x,y ∈ ℝ }

Die Vektoren sind linear unabhängig, das sie keine Vielfachen voneinander sind und erzeugen Bild(f). 

 Bild(f)  hat also zwei Basisvektoren  →  dim(Bild) = 2 

Gruß Wolfgang

Comments

Ja, das stimmt. 
Ich frage mich nur, ob ich das so wie in meinem Lösungsvorschlag machen kann?

Also, dass ich Bild (f) als Matrix schreibe und dann den Rank solcher Matrix bestimme. Dann ist der Rank dieser Matrix auch die Dimension des Bildes?

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Wer viel schreibt, schreibt oft auch Falsches :-)

dim(f) ist z.B. nicht die  " Dimension unserer Zielmenge ℝ⁴ " (Letztere ist 4)

Zum Rechnen kann man Bild(f) als Matrix schreiben.

Formal darf man aber nicht Bild(f) = Matrix schreiben, weil Bild(f) eine Menge und keine Matrix ist.

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du weißt doch: immer wieder gern :-)