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ich muss gerade die Umkehrfunktion bestimmen von 

$$y=$$ Bild Mathematik

Jedoch hänge ich an einer Stelle fest... (habe die Lösungen aber verstehe eine stelle nicht)

x²(1+y²)-2·y·x = 0 soll das hier sein:

$$x²(\frac { 2y }{ 1+y² } )\cdot x=0$$

Also wie kommt das? 

mfg

hier die gesamte Rechnung bis zu der Problemstelle:

Bild Mathematik

von

3 Antworten

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 Deine Rechnung ist richtig. Dann wir x ausgeklammert und dann ist x=0 oder  x-2y/(1+y2)=0. die zweite Gleichung wird zu x=2y/(1+y2) umgeformt. Im Falle x≠0 ist f-1(x)=2x/(1+x2)die Umkehrfunktion.

von 103 k 🚀

nochmal ganz kurz, ich verstehe immer noch nicht ganz wie 


$$x²(\frac { 2y }{ 1+y² } )\cdot x=0$$

zustande kommt.

wie kommt ich von x²(1+y²) zu

x²-2/(1+x²)... das ist gegen alle mathematischen Regeln die mir grad einfallen... was entgeht mir? 

mfg

Mehr, als ich geschrieben habe, fällt mir dazu auch nicht ein.

+1 Daumen

y = (1 - √(1 – x ^ 2)) / x


x * y = 1 - √(1 – x ^ 2)


x * y – 1 = - √(1 – x ^ 2)


1 – x * y = √(1 – x ^ 2)


(1 – x * y) ^ 2 = 1 – x ^ 2


1 – 2 * x * y + x ^ 2 * y ^ 2 = 1 – x ^ 2


- 2 * x * y + x ^ 2 * y ^ 2 = - x ^ 2


- 2 * y + x * y ^ 2 = - x


x * y ^ 2 + x = 2 * y


x * (y ^ 2 + 1) = 2 * y


x = 2 * y / (y ^ 2 + 1)


Das ist deine Umkehrfunktion, genauer kannst du jetzt schreiben →


x(y) = 2 * y / (y ^ 2 + 1)


x ist also eine Funktion von y


Willst du das jetzt als neue Funktion y(x) statt x(y) etablieren, also die Koordinatenachsen vertauschen, dann musst du einfach x und y miteinander vertauschen.


y(x) = 2 * x / (x ^ 2 + 1)


oder in der Kurzschreibweise


y = 2 * x / (x ^ 2 + 1)


Vielleicht kommst du mit meinem Rechenweg besser zurecht.

von
+1 Daumen

x^2y^2 + x^2 - 2xy  = 0

bei deinen Berechnungen  :
x ausklammern und
den Satz vom Nullprodukt anwenden

x * ( xy^2 + x - 2y ) = 0
x = 0

xy^2 + x - 2y  = 0
x * ( y^2 + 1 ) = 2y
x = 2y / ( y^2 + 1 )
oder
y = 2x / ( x^2 + 1 )

von 112 k 🚀
Deine handschriftlichen Umformungen sind
in Ordnung :
nach der letzten Zeile : x ausklammern

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