Seien a und b natürliche Zahlen, für die a^3|b^2 gilt. Zeigen Sie, dass a|b folgt

Question

ich habe folgende Aufgabe und stehe grade auf dem Schlauch hat eventuell jemand einen Tip für mich

Seien a und b natürliche Zahlen, für die a^3|b^2 gilt. Zeigen Sie, dass a|b folgt

Hatte mir zum einen ueberlegt das ja folgendes gilt wenn  a^3|b^2 das gilt a^3 ≤b^2 ⇒ a≤b.

Weiter gilt ja auch da b^2 = b*b, dass es einen Teiler d gibt mit 1< d < √b^2 = b. Also d|b^2 ⇒ d|b.

Jetzt komme ich nicht weiter

Comments

Versuch es doch mal mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung von a und b.

Answer 1

Sei a³ = p₁ⁿ¹ * p₂ⁿ² * ... p_k^nk  die Primfaktorzerlegung von a³    

Dann sind alle ni durch 3 teilbar.                  #

Außerdem ist  p₁ⁿ¹ * p₂ⁿ² * ... p_k^nk  in der Primfaktorzerlegung von b² enthalten.

und deshalb

Angenommen es wäre a kein Teiler von b, dann gäbe es einen Primfaktor p ,

der in der Primfaktorzerlegung von b mit einem kleineren Exponenten (etwa x)

vorkommt, als in der von a (etwa y ),  also  x < y .

Dann ist aber p^3y | p^2x , weil  a³ | b²   ,  also  3y ≤ 2x , also 1,5y ≤ x .

Damit hat man x ≥ 1,5y > y   und   x < y .         Widerspruch !

Answer 2

a³|b² gilt. Zeigen Sie, dass a|b folgt.

Zeige stattdessen: ¬ (a|b) ⇒ ¬ (a³|b²⁾ .