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ich habe folgende Aufgabe und stehe grade auf dem Schlauch hat eventuell jemand einen Tip für mich

Seien a und b natürliche Zahlen, für die a^3|b^2 gilt. Zeigen Sie, dass a|b folgt

Hatte mir zum einen ueberlegt das ja folgendes gilt wenn  a^3|b^2 das gilt a^3 ≤b^2 ⇒ a≤b.

Weiter gilt ja auch da b^2 = b*b, dass es einen Teiler d gibt mit 1< d < √b^2 = b. Also d|b^2 ⇒ d|b.

Jetzt komme ich nicht weiter

von

Versuch es doch mal mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung von a und b.

2 Antworten

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Sei a3 = p1n1 * p2n2 * ... pknk  die Primfaktorzerlegung von a3    

Dann sind alle ni durch 3 teilbar.                  #

Außerdem ist  p1n1 * p2n2 * ... pknk  in der Primfaktorzerlegung von b2 enthalten.

und deshalb

Angenommen es wäre a kein Teiler von b, dann gäbe es einen Primfaktor p ,

der in der Primfaktorzerlegung von b mit einem kleineren Exponenten (etwa x)

vorkommt, als in der von a (etwa y ),  also  x < y .

Dann ist aber p3y | p2x , weil  a3 | b2   ,  also  3y ≤ 2x , also 1,5y ≤ x .

Damit hat man x ≥ 1,5y > y   und   x < y .         Widerspruch !



von 229 k 🚀
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a3|b2 gilt. Zeigen Sie, dass a|b folgt.

Zeige stattdessen: ¬ (a|b) ⇒ ¬ (a3|b2) .

von 103 k 🚀

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