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Ich weiß leider nicht, wie ich diese Gleichung lösen soll - es funktioniert ja weder pq- Formel noch ausklammern...

x4 -2x2 -x +1 = 0

Schon einmal vielen Dank für die Hilfe :)

von

Zu welchem Stoff (Thema, Bildungseinrichtung, Jahr, Ort) gehört denn die Frage und welche Hilfsmittel (GTR, CAS, TK oder was auch immer) dürfen denn angewendet werden?

PS: Wie lautet eigentlich die ursprüngliche Aufgabe?

2 Antworten

+1 Daumen

x^4 - 2·x^2 - x + 1 = 0

Mit einem Näherungsverfahren wie z.B. dem Newtonverfahren erhält man

x = 1.490216120

Schau mal in deinen Aufzeichnungen ob ihr ein Näherungsverfahren besprochen habt.

von 391 k 🚀

Gibt es nicht zwei reelle Lösungen?

Doch. Alle Lösungen sind:

x = -1.007552359 - 0.5131157955·i ∨

x = -1.007552359 + 0.5131157955·i ∨

x = 0.5248885986 ∨

x = 1.49021612

+1 Daumen

Hallo lala,

x4 - 2x2 - x + 1 = 0

Da die Gleichung keine ganzzahlige Lösung hat (müsste ein Teiler von 1 sein!) , die man durch Probieren finden und dann die Gleichung mit Polynomdivision vereinfachen könnte, bleiben nur 

die Cardano-Formeln (lästig und nur auf Polynomgleichungen anwendbar. Sie liefern dort aber alle Lösungen, also auch die komplexen Nullstellen)

Infos:

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/viertergrad.pdf

 oder (auch auf Gleichungen anderer Art anwendbar) ein Näherungsverfahren, z. B. das

Newtonverfahren:

Infos dazu findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B.  zwischen zwei x-Werten  findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, ergeben sich - wenn das Verfahren konvergiert (vgl. unten #) - immer bessere Werte mit der Formel

xneu =  xalt - f(xalt) / f ' (xalt)

Hier ergeben  z.B. Startwerte x ≥ 1,2    (hat mein Rechner einfach ausprobiert) 

xf(x) ≈f '(x) ≈
2723
1,6956521741,82085898811,718994
1,5402754420,3433392727,455794496
1,4942254510,0253477486,367784816
1,4902448280,0001802016,277340276
1,4902161229,33241E-096,276690087
1,4902161206,276690054


und Startwerte  10-10 < x < 1 - 10-10   (hat mein Rechner auch einfach ausprobiert)

xf(x) ≈f '(x) ≈
0,9-0,8639-1,684
0,3869952490,335903756-2,316147123
0,532022201-0,018001489-2,525738328
0,524894982-1,60941E-05-2,521114706
0,524888599-1,4138E-11-2,521110276


#
bei  x = -1 , x = 0 und x = 1  konvergiert das Verfahren z.B. nicht.  

Das Problem mit den Startwerten ist meist weniger gravierend und erklärt sich hier vor allem dadurch, dass Nullstellen und Extremstellen in einem kleinen Bereich zusammenliegen:

Bild Mathematik

Leider sagt einem das Verfahren auch nicht, wann man alle reellen Nullstellen gefunden hat. Dabei kann einem oft das Betrachten der Ableitungen helfen.

Gruß Wolfgang

von 85 k 🚀

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