Sinus zwischen zwei Vektoren

Question

ich möchte gerade für den Flächeninhalt eines Parallelogramms den Sinus des Winkels zwischen zwei Vektoren berechnen. Die Formel für den Cosinus zwischen zwei Vektoren lautet:

\( \cos (\theta)=\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| \cdot|\mathbf{v}|} \)

Wie kann ich dies nach Sinus umstellen?

Schon einmal vielen Dank :)

Answer 1

Hallo lala,

wenn du sin(α) ausrechnen willst und cos(α) hast, kannst du die Formel

sin(α) = √( 1 - cos²(α) )  benutzen.

 [ Folgerung aus sin²(α) + cos²(α) = 1  für 0° ≤ α ≤ 180° ]

sin( arccos( cos(α) ) geht natürlich auch.

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Für den sin des Winkels α zwischen zwei Vektoren  \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) gilt also z.B.

sin(α) =  √[ 1 - ( \(\vec{a}\) *\(\vec{b}\) / (|\(\vec{a}\)| * |\(\vec{b}\)|) )² ) ] 

Gruß Wolfgang

Answer 2

Alternativ zur Antwort von Wolfgang:

a, b sind Vektoren

|a x b| = |a|*|b|*sin(alpha)

Das x steht für das Kreuzprodukt/Vektorprodukt