f : R² --> R, f(x,y):= (sin |xy| )/x für x≠0 und f(0,y):= 0. stetig \ unstetig in den Punkten [ .... ] zeigen.

Question

f : R² --> R,  f(x,y):= (sin |xy| )/x für x≠0 und f(0,y):= 0. stetig \ unstetig in den Punkten [ .... ]

Die Aufgabe ist:

$$f:{ R }^{ 2 } \rightarrow R\\ \\ f(x,y):= { \begin{pmatrix} \frac { sin|xy| }{ x } ,\quad falls\quad x\neq 0 \\ \quad \quad \quad y\quad \quad \quad , falls \quad x = 0 \end{pmatrix}}$$

Zeigen Sie, dass f :

(1) in den Punkten ^t(a,b) mit a≠ 0 stetig ist

(2) in den Punkten ^t(0,b) b ≠ 0 unstetig ist

(3) stetig oder unstetig im Punkt ^t(0,0) ?

(1) war es das schon hier weiß ich überhaupt nicht weiter?

$$\frac { sin|xy| }{ x } \quad ,\quad x \neq 0\quad ,\quad ist\quad als\quad Verkettung\quad stetiger\quad Funktionen\quad stetig.\\ \\ ?\\$$

(2)

$${ lim \quad x }_{ n }{ \overset { n \rightarrow \infty }{ \longrightarrow } 0 }\\ \\ lim \quad y_{ n }{ \quad \overset { n \rightarrow \infty }{ \longrightarrow } b ,\quad b \neq 0 }\\ \\ \\ f({ x }_{ n }{ , y }_{ n }) = \frac { sin|{ x }_{ n }{ y }_{ n }| }{ { x }_{ n } } \overset { }{ \longrightarrow } 1 \quad \neq \quad f(0 , b) = b$$

(3)

$${ lim\quad x }_{ n }{ \overset { n \rightarrow \infty }{ \longrightarrow } \quad 0 }\\ \\ lim\quad y_{ n }{ \overset { n \rightarrow \infty }{ \longrightarrow } \quad 0 }\\ \\ f({ x }_{ n }{ , y }_{ n })= \frac { sin|{ x }_{ n }{ y }_{ n }| }{ { x }_{ n } } \overset { }{ \longrightarrow } 1\quad \neq \quad f(0, 0) = 0$$

Answer 1

1)  ok

Das mit den Grenzwerten 1 stimmt nicht.

Es hat zwar  sin(z) / z für z gegen 0 den GW 1 , aber

hier musst du dann etwa   sin |xnyn | /  (xnyn) betrachten.

Das hat GW 1 und der gegebene Term kann durch Erweitern auf

yn *   sin |xnyn | /  (xnyn)  gebracht werden .

Comments

Das ist die Antwort zu drittens oder? Bei (2) wäre es ja dann stetig oder muss ich den Betrag beachten? Das ist mir noch dazu eingefallen: sin|xy|/x ≤ |xy| /x ≤ |xy|/|x| = |y|

-y/y ≥ sin|xy|/xy → -1 ≥ 1  ?

sin|xy|/xy ≤ y/y  → 1 ≤ 1

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so dass hier nur y=0 bzw. b=0 in frage kommt mit -y ≥ sin|xy|/x  und y≥ sin|xy|/x

aber das war ja ausgeschlossen? und 3. ist stetig?

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sin|xy|/y = |y| = y = f(0,0) ausgeschlossen so dass : lim (x,y) -->(0,b) := sin|xy|/y < |y| ≠ y = f(0,b)

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lim (x,y) -->(0,b) := sin|xy|/y < |y| →  sin|xy|/y ≠ y = f(0,b)