Welche der folgenden Teilmengen von R^4 sind Unterräume?

Question

ich habe keine Ahnung wie ich das nachschauen kann also kann Jemanden mir es erklären.

Answer 1

Hallo gc,

du musst für U ⊂ ℝ⁴ folgende jeweils "Unterraumkriterien" prüfen:

1)  (0,0,0,0)  ∈ U

2) Abgeschlossenheit bzgl. Addition

3) Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation mit reellen Zahlen.

(a)    1)  (0,0,0,0) ∈  U₁

        2)    für x,y ∈ U₁   ist x + y = ( x1 + y1 ,  x2 + y2  , x3, + y3 , x4 + y4 )

               x2 + y2 +  x3 + y3 =  x2 + x3   +  y2 +  y3  = 3x4 + 3y4  =  3 * ( x4 + y4)   

        3)   für x ∈ U1   und  r ∈ ℝ   gilt:   r*x = ( r*x1 ,  r*x2 , r*x3 ,  r*x4 )

               r*x2 + r*x3  = r * ( x2 + x3 )  = r * x4

             U1 ist also Unterraum von  ℝ⁴

(b)   1)  (0,0,0,0)  ∉  U   →   U₂  ist kein Unterraum von  ℝ⁴  

(c)   3)   √2 * (0,0,1,0)  =   (0,0,√2,0)  ,  √2 ∉ ℚ   →  U₃  ist kein Unterraum von  ℝ⁴  

Gruß Wolfgang