0 Daumen
4,4k Aufrufe

bei folgender Aufgabe kommen wir an einer Stelle einfach nicht weiter. Zunächst die Aufgabenstellung:

Das Minimalpolynom einer Matrix A ∈ Kn×n ist das eindeutig bestimmte normierte, nichtkonstante Polynom pA ∈ K[T] minimalen Grades mit pA(A) = 0. Bestimme die Minimalpolynome der folgenden beiden Matrizen, wobei λ ∈ K beliebig ist.

A =

λ
10
0λ
0
00λ


B=

λ
10
0λ
1
00λ


Zeige, dass A und B nicht ähnlich sind. Hinweis: Der Satz von Caley und Hamilton darf benutzt werden. 


Wir haben bereits die charakteristischen Polynome für beide Matrizen. Die sind gleich: (x-λ)3   (soweit richtig?).
Die Teiler dieses Polynoms sind also x-λ, (x-λ)2; (x-λ)3; 1
1 schließt sich als Konstante bereits aus. Also nehmen wir an, dass x-λ das Minimalpolynom ist. Um dies zu beweisen, müssen wir (wie in der Aufgabenstellung beschrieben) dieses Polynom jetzt auf die Matrix anwenden.
Da hängen wir fest!

Wir haben überlegt, statt der Matrix für x das charakteristische Polynom einzusetzen. Allerdings kommt dabei nicht 0 raus.
Vielleicht kann uns ja jemand den entscheidenden Tipp geben.

Schon mal
Liebe Grüße

von

Genau genommen lauten die Polynome \((x^1-\lambda x^0)^k\) und wenn man für \(x\) die Matrix \(A\) einsetzt, wird \(A^0\) die Einheitsmatrix. Auszurechnen ist also \((A-\lambda E)^k\) für \(k=1,2,3\).

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community